角度测量的原理、方法及误差分析
基本概述
角度测量
angle,measurement of
测定水平角或竖直角的工作。水平角是一点到两个目标的方向线垂直投影在水平面上所成的夹角。竖直角是一点到目标的方向线和一特定方向之间在同一竖直面内的夹角。通常以水平方向或天顶方向作为特定方向。水平方向和目标间的夹角称为高度角。天顶方向和目标方向间的夹角称为天顶距 。角度的度量常用60分制和弧度制 。60分制即一周为360°、1°为60′、1′为60″。弧度制采用圆周角的2π分之一为1弧度。1弧度约等于57°17′45″。此外，军事上常用密位作量角的单位。为使1密位所对的弧长约略等于半径的1／1000，取圆周角的1／6000为1密位。角度测量主要使用经纬仪。测角时安置经纬仪，使仪器中心与测站标志中心在同一铅垂线上，利用照准部上的水准器整平仪器后，进行水平角或竖直角观测。
方向观测法
观测两个方向之间的水平夹角采用测回法，对3个以上的方向采取方向观测
法或全组合测角法。
测回法即用盘左（竖直度盘位于 望远镜左侧）、盘右（竖直度盘
用盘左观测时，分别照准左、右目标得到两个读数，
两数之差为上半测回角值。为了消除部分仪器误差，倒转望远镜再用盘右观测，得到下半测回角值。取上、下两个半测回角值的平均值为一测回的角值。按精度要求可观测若干测回，取其平均值为最终的观测角值。
方向观测法是当有3个以上方向时，在上、下各半测回中依次对各方向进行观测，以求得各方向值，上、下两个半测回合为一测回，这种方法称为全圆测回法。按精度需要测若干测回，可得各方向观测值的平均值，所需角度值由相应方向值相减即得。
全组合测角法
全组合测角法，每次取两个方向组成单角，将所有可能组成的单角分别采取测回法进行观测。各测站的测回数与方向数的乘积应近似地等于一常数。由于每
次只观测两个方向间的单角，可以克服各目标成像
不能同时清晰稳定的困难 ，缩短一测回的观测时间，减少外界条件的影响，易于获得高精度的测角成果。适用于高精度三角测量。
观测竖直角以望远镜十字丝的水平丝分别按盘左和盘右照准目标，读取竖直度盘读数为一测回。如测站上有几个观测目标，先在盘左依次观测各目标，再在盘右依相反顺序进行观测。读数前，必须使竖盘指标水准气泡严格居中。
1水平角 a.水平角测量原理
水平角是从一点出发的两条方向线所构成的空间角在水平面上的投影，或是指地面上一点到两个目标点的方向线垂直投影到水平面上的夹角，或者是过两条方向线的竖直面所夹的两面角。
b.水平角测量方法
测回法常用于测量两个方向之间的单角，如图3—14。
①在角顶O上安置经纬仪，对中、整平。将经纬仪安置成盘左位置(竖盘在望远镜的左侧，也称正镜)。转动照准部，利用望远镜准星初步瞄准A目标，调节目镜和望远镜调焦螺旋，使十字丝和目标成像清晰，消除视差。再用水平微动螺旋和竖直微动螺旋，使十字丝交点照准目标。读数（0°12ˊ12″）记入记录手簿，见表3—1。
②松开水平制动扳钮和望远镜制动扳钮，顺时针转动照准部，同上操作，照准B点，读数（72°08ˊ48″），记入手簿。盘左所测水平角为=72°08ˊ48″-0°12ˊ12″=71°56ˊ36″，称为上半测回。
③松开水平制动扳钮和望远镜制动扳钮，倒转望远镜成盘右位置(竖盘在望远镜右侧，或称倒镜)。先瞄准B点，再瞄A点，测得回。
，称为下半测
上、下半测回合称一测回。最后计算一测回角值为：
测回法用盘左、盘右观测(即正、倒镜观测)，可以消除仪器某些系统误差对测角的影响，校核观测结果和提高观测成果精度。测回法测角盘左、盘右观测值之差不得超过±40″。若超过此限应重新观测。
当测角精度要求较高时，可以观测多个测回，取其平均值作为水平角测量的最后结果。为了减少度盘刻划不均匀误差，各测回应利用经纬仪上水平度盘复测装置配置度盘。每个测回应按180°／n的角度间隔变换水平度盘位置。 如测三个测回，则分别设置成略大于0°、60°和120°。 (2)方向观测法
当一个测站上需测量的方向数多于两个时，应采用方向观测法。当方向数多于三个时，每半个测回都从一个选定的起始方向(称为零方向)开始观测，在依次观测所需的各个目标之后，再观测起始方向，称为归零。此法也称为全圆方向法或全圆测回法，现以图3—15为例加以说明。
c.水平角观测注意事项
(1)仪器安置的高度应合适，脚架应踩实，中心螺旋拧紧，观测时手不扶脚架，转动照准部及使用各种螺旋时，用力要轻。
(2)若观测目标的高度相差较大，特别要注意仪器整平。
(3)对中要准确。测角精度要求越高，或边长越短，则对中要求越严格。 (4)观测时要消除视差，尽量用十字丝交点照准目标底部或桩上小钉。
(5)按观测顺序记录水平度盘读数，注意检查限差。发现错误，立即重测。 (6)水准管气泡应在观测前调好，一测回过程中不允许再调，如气泡偏离中心超过两格时，应再次整平重测该测回。
如图3—1所示，A、B、C为地面上三点，过AB、AC直线的竖直面，在水平面P上的交线ab、ac所夹的角，就是AB和AC之间的水平角。
根据水平角的概念，若在过A点的铅垂线上，水平地安置一个有刻度的圆盘(称为水平度盘)，度盘中心在O点，过AB、AC竖直面与水平度盘交线为on、om，
在水平度盘上读数为n、m。则针刻划，则:
= (3-1)
水平角度值为0°～360°。
为所测得的水平角。一般水平度盘是顺时
2竖直角
a.竖直角测量原理
竖直角是空间方向线与水平面或天顶方向的夹角，指在同一竖直面内，某一方向线与水平线的夹角。测量上又称为倾斜角或竖角或垂直角，用表示。竖角分有仰角和俯角。夹角在水平线之上称为仰角，角值为“正”，如图3—1中
；
在水平线之下称为俯角，角值为“负”，如图3—1中。竖角值域为0°～土90°。
若在竖直面内，竖直方向AK与某一方向线的夹角，称为天顶距，用Z表示，值域为0°～180°。天顶距与竖直角的关系为：
=90°—Z (3—2)
如果在过A点的铅垂面上，安置一个垂直圆盘，并令其中心过A点，这个盘称为竖直度盘。当竖直度盘与过AB直线的竖直面重合时，则AB方向与水平方向线Ab′的夹角为，AB与竖直方向夹角为。竖直角与水平角一样，其角值也是度盘上两个方向的读数之差，不同的是，这两个方向必有一个是水平方向。经纬仪设计时，将提供这一固定方向。即：视线水平时，竖盘读数为固定值90°或270°。在竖直角测量时，只需读目标点一个方向值，便可算得竖直角。 根据上述角度测量原理可知，用于角度测量的经纬仪必须具有下述的基本条件：
（1） 要有一个能照准远方目标的瞄准设备，它不但能上下绕横轴转动而形
成一竖直平面，并可绕竖轴在水平方向转动；
（2） 为测水平角必须有一个带分划的圆盘（即水平度盘），其中心应与竖
轴重合。为在水平度盘上读数，还应有一个在水平度盘上读数的指标。为将水平度盘安置在水平位置并使竖轴中心位于过测站点的铅垂线方向上，应具有仪器整平装置和对中装置；
（3） 为测取竖直角必须具有一个处于竖直位置并带分划的圆盘(即竖直度盘)，且其中心应与横轴中心重合。为了在竖度盘上读数，应具有能被安置在水
平位置或竖直位置的指标。 b.竖直角测量 (1)竖盘结构
经纬仪竖盘包括竖直度盘、竖盘指标水准管和竖盘指标水准管微动螺旋。竖直度盘固定在横轴一端，可随望远镜在竖直面内转动。分微尺的零刻划线是竖盘读数的指标线，可看成与竖盘指标水准管固连在一起，指标水准管气泡居中时，指标就处于正确位置。如果望远镜视线水平，竖盘读数应为90°或270°。当望远镜上下转动瞄准不同高度的目标时，竖盘随着转动，而指标线不动，因而可读得不同位置的竖盘读数，用以计算不同高度目标的竖直角，见图3—16。
l—竖直度盘；2—水准管反射镜；
3—竖盘水准管；4—望远镜；5—横轴； 6—支架；7—转向棱镜；8—透镜组；
9—竖盘水准管微动螺旋；l0—水准管校正螺丝
图3—16 经纬仪竖盘结构
竖盘是由光学玻璃制成，其刻划有顺时针方向和逆时针方向两种，见图3—17。
图3-17 不同刻划的竖盘
不同刻划的经纬仪其竖直角公式不同。盘左时:
当望远镜物镜抬高，竖盘读数减小（顺时针刻划），竖直角为： =起始读数—读数＝90°－L (3—6)
反之，当物镜抬高，竖盘读数增加（逆时针刻划），竖直角为： =读数－起始读数＝L—90° (3—7) (2)竖直角观测和计算
a．仪器安置在测站点上，对中、整平。盘左位置瞄准目标点，使十字丝中横丝精确切准目标顶端，见图3—18。调节竖盘指标水准管微动螺旋，使竖盘指标水准管气泡居中，读数为L。
图3-18 竖直角测量瞄准
b．用盘右位置再瞄准目标点，调节竖盘指标水准管，使气泡居中，读数为R。 c．计算竖直角时，需首先判断竖直角计算公式(顺时针刻划)，如图3—19所示：
（a）盘左位置 (b)盘右位置
图3-19 竖直角测量
盘左位置 盘右位置 一测回值为：
(3-10)
=18°47′12 ″
同理观测B点。
将各观测数据填入竖直角观测手簿，利用上列各式逐项计算，得出一测回竖直角。
c.竖盘指标差及其检验与校正 （1）检验
经纬仪由于长期使用及运输，会使望远镜视线水平、竖盘水准管气泡居中时，其指标不恰好在90°或270°，而与正确位置差一个小角度δ，称为竖盘指标差，见图3-26。
此时进行竖直角测量，盘左读数为90°+δ。正确的竖直角为：
(3-13) (3-8)
=90°- 71°12 ′36″=18°47 ′24″
(3-9)
=288°47 ′00″-270°=18°47 ′00 ″
(a) 盘左位置； (b)盘右位置
图3-26 竖盘指标差
盘右时，正确的竖直角为：
(3-14)
将式(3-8)、式(3-9)代入式(3-13)、式(3-14)得：
(3-15)
(3-16)
将式中(3-15)、式(3-16)两式相加除以2，得：
此式与式(3-10)相同，而指标差可用下式求得：
(3-17)
指标差可用于检查观测质量。在同一测站上，观测不同目标时，DJ6型经纬仪指标差变化围为25″。此外，在精度要求不高或不便纵转望远镜时，可先测定指标差δ，在以后观测时只作正镜观测，求，按式(3—15)求竖直角。 指标差若超出±1′，应校正。 （2）校正
校正时，应用盘右位置照准原目标。转动竖盘指标水准管微动螺旋，使竖盘读数为正确值()，此时气泡不再居中，再用校正针拨动竖盘水准管校正螺丝，使气泡居中。这项工作应反复进行，直至δ值在规定范围之内。 3角度测量的误差
角度测量误差来源有仪器误差、观测误差和外界环境造成的误差。研究这些误差是为了找出消除和减少这些误差的方法。 (1)仪器误差
仪器误差包括仪器校正之后的残余误差及仪器加工不完善引起的误差。 ①视准轴误差是由视准轴不垂直于横轴引起的，对水平方向观测值的影响为2c。由于盘左、盘右观测时符号相反，故水平角测量时，可采用盘左、盘右取平均的方法加以消除。
②横轴误差是由于支承横轴的支架有误差，造成横轴与竖轴不垂直。盘左、盘右观测时对水平角影响为角误差，并且方向相反。所以也可以采用盘左、盘右观测值取平均的方法消除。
③竖轴倾斜误差是由于水准管轴不垂直于竖轴，以及竖轴水准管不居中引起的误差。这时，竖轴偏离竖直方向一个小角度，从而引起横轴倾斜及度盘倾斜，造成测角误差。这种误差与正、倒镜观测无关，并且随望远镜瞄准不同方向而变化，不能用正、倒镜取平均的方法消除。因此，测量前应严格检校仪器，观测时仔细整平，并始终保持照准部水准管气泡居中，气泡不可偏离一格。 ④度盘偏心差主要是度盘加工及安装不完善引起的。使照准部旋转中心平度盘圆心C不重合引起读数误差，见图3—28。若C和标时正确读数
、
、
、
。若不重合，其读数为
与水
重合，瞄准A、B目、
、
、
。
比正确读数变了、。从图中可见，在正、倒镜时，指标线在水平度盘上的读数具有对称性，而符号相反，因此，可用盘左、盘右读数取平均的方法予以减小。
⑤度盘刻划不均匀误差是由于仪器加工不完善引起的。这项误差一般很小。在高精度测量时，为了提高测角精度，可利用度盘位置变换手轮或复测扳手在各测回间变换度盘位置，减小这项误差的影响。
⑥竖盘指标差可以用盘左、盘右取平均的方法消除。 (2) 观测误差 ①对中误差
在测角时，若经纬仪对中有误差，将使仪器中心与测站点不在同一铅垂线上，造成测角误差。
图3—29 仪器对中误差
如图3—29，O为测站点，A、B为目标点，O′为仪器中心在地面上的投影。OO′为偏心距，以e表示。则对中引起测角误差为：
(3-18)
(3-19)
式中
(3-20)
以秒计。从上式可见，对中误差的影响与偏心距成正比，与边长成反
比。当＝180°，＝90°时，角值最大。当e=3mm， D1=D2＝60m时，对中误差为：
″
这项误差不能通过观测方法消除，所以测水平角时要仔细对中，在短边测量时更要严格对中。 ②目标偏心误差
目标偏心是由于标杆倾斜引起的。如标杆倾斜，又没有瞄准底部，则产生目标偏心误差，见图3—30，O为测站，A为地面目标点，AA′为标杆，杆长d，杆倾角。目标偏心差为：
(3-21)
目标偏斜对观测方向影响为： (3-22)
从上式可见，目标偏心误差对水平方向影响与e成正比，与边长成反比。 为了减少这项误差，测角时标杆应竖直，并尽可能瞄准底部。 ③照准误差
测角时由人眼通过望远镜瞄准目标产生的误差称为照准误差。影响照准误差的因素很多，如望远镜放大倍数、人眼分辨率、十字丝的粗细、标志形状和大小、目标影像亮度、颜色等，通常以人眼最小分辨视角(60″)和望远镜放大率来衡量仪器的照准精度，为：
(3-23)
对于DJ6型经纬仪，ν＝28， =±2.2″。 ④读数误差
读数误差主要取决于仪器读数设备。对于采用分微尺读数系统的经纬仪，读数中误差为测微器最小分划值的1/10，即0.1′=6″
(3)外界条件的影响
角度观测是在一定外界条件下进行的。外界环境对测角精度有直接影响，如大风、日晒、土质情况对仪器稳定性的影响及对气泡居中的影响，大气热辐射、大气折光对瞄准目标影响等。所以应选择微风多云，空气清晰度好，大气湍流不严重的条件下观测。
