常见不等式的解法

一、一元一次不等式 解下列关于x的不等式

1、2x+3>5 2、-2x+5<6 3、ax>1 4、不等式3(x+1)≥5x-9的正整数解是_________

x5、已知关于x的不等式(3a-2)x+2<3的解集是

二、一元二次不等式

14,则a=______.

11221、x2 2、(x1)2 3、x2+x-2≤4 4、若0＜a＜1，则不等式(x-a)(x-a)＜0的解是______.a＜x＜a

1x x225、已知不等式axbx20的解集为

6、不等式2x2-3|x|-35>0的解为______..x<-5或x>5

13，则ab的值为______.-14

1m且m047、方程mx(2m1)xm0有两个不相等的 实数根，则实数m的取值范围是______.

228、不等式xmxn0的解集是x|2x3，则m= __，n= __.-1;-6

9、函数f(x)x2x2的定义域为______________xx2或x1

10、对于任意实数x ，一元二次不等式(2m-1)x 2+(m+1)x +(m-4)＞0恒成立，则实数m的取值范围是______. m＞5 11、函数f(x)ax2ax+2的定义域为R，则a的取值范围是_________ 【0,8】

1

二、分式不等式的解法

1）标准化：移项通分化为

f(x)f(x)f(x)f(x)0(或0)；0(或0)的形式， g(x)g(x)g(x)g(x)2）转化为整式不等式（组）

f(x)g(x)0f(x)f(x) 0f(x)g(x)0；0g(x)0g(x)g(x)2x23x13x10的解集是 2. 不等式1. 不等式21的解集是

3x7x23x2x23x7x1x11的解集是 4. 不等式3. 不等式2的解集是 xx2x1x129xx2x23x21的解集是 6. 不等式20的解集是 5. 不等式

5x2x7x12x2x2x11的解集是 8. 不等式7. 不等式1的解集是 2x1x2x212x32的解集是 9. 不等式2的解集是 10. 不等式2(x1)(x1)3x4 答案

1. 2. (-2，3)3. 4.

5. 2)

6. 7. 8. (1，

9. 10.

2

三、无理不等式的解法

无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。

(f(x)0)定义域g(x)型g(x)0 f(x)g(x)题型Ⅰ：f(x)例一 解不等式3x4x30

43x40x3 解：移项：3x4x3x3∴x3∴不等式的解集是：{x|x3} x303x4x3x12 练习一：解不等式⑴1x3x20 ⑵52xx1

解：⑴移项：1x3x2

1x033x13 ∴x1 ∴原不等式的解集为 ∴x|x1 x443x21x4⑵x10x1 ∴1x2∴原不等式的解集为{x|1x2} 52xx1x2例二 解不等式 52xx1

解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：

52x052x0Ⅰ： 或 Ⅱ： x10x1052x(x1)25x25x解Ⅰ：x1 解Ⅱ：2

2x2x1 即：1x2 或 x1 ∴x2 ∴原不等式的解集为{x|x2} 题型Ⅱ：

f(x)0f(x)0f(x)g(x)型g(x)0或

g(x)02f(x)[g(x)]2练习二：解不等式2x3x112x

解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：

2x23x102x23x10Ⅰ：12x0 或 Ⅱ：

12x02x23x1(12x)21x1或x12x1或x12 解Ⅰ： 解Ⅱ：x12x72x02 即：11x0 或 x ∴x0 ∴原不等式的解集为{x|x0} 223

四、含绝对值的不等式的解法 (一)、公式法：即利用

xa与xa的解集求解。

xa与xa型的不等式的解法。

当a0时，不等式

不等式

x的解集是__________________ 当a0时，不等式xa的解集是________________ xa的解集是________________ 不等式xa的解集是________________

例1 解不等式

x23 答案为x1x5。

a(a0),(二)、定义法:即利用a0(a0),去掉绝对值再解。

a(a0).例2.解不等式

xx。 x2x2解:原不等式等价于

x＜0x(x+2)＜0-2＜x＜0。 x2(三)、平方法:解f(x)g(x)型不等式。

例3、解不等式x12x3。

2222解:原不等式(x1)(2x3)(2x3)(x1)0(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<0  (四)、零点分段法：即通过合理分类去绝对值后再求解。

例4 .解不等式x1x25。

4x2。 3解:当x＜-2时，得x2

(x1)(x2)5解得：3x2

2x1, 当-2≤x≤1时，得 解得：2x1

(x1)(x2)5当x1时，得x1, 解得：1x2

(x1)(x2)5.综上，原不等式的解集为

x3x2。

(五)、几何法：即转化为几何知识求解。

例5 对任何实数x，若不等式x1x2k恒成立，则实数k的取值范围为 ( )

4

(A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D) k≤-3

分析:设yx1x2，则原式对任意实数x恒成立的充要条件是kymin，于是题转化为求y的最小值。

x-10 2解:x1、x2的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离x1-x2的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B）。 （六）、巩固练习 1、设函数

f(x)2x1x3,则f(2)＝ ;若f(x)2，则x的取值范围是 .

x11的实数解为 ．

x22、不等式

3、若不等式

ax26的解集为1,2，则实数a等于 （ ）

A. 8 B. 2 C. 4 D. 8

4、1对任意实数x，|x1||x2|a恒成立，则a的取值范围是 ；

2对任意实数x，|x1||x3|a恒成立，则a的取值范围是 ； 3若关于x的不等式|x4||x3|a的解集不是空集，则a的取值范围是 ；

5、不等式

x2103x的解集为（ ）

A. x|2x10 B. x|2x5 C. x|2x5 D.x|10x5

6、解不等式：x12x2

7、方程

x2x2xx的解集为 ，不等式的解集是 ； 22x3xx3x2x2x8、不等式

x(12x)0的解集是（ ）

1111A.(,) B.(,0)(0,) C.(,) D. (0,)

22229、不等式1|x1|3的解集为（ ）.

(2,4) C. (4,0) D. (4,2)（参）

A.(0,2) B.(2,0)(0,2)

31、 6 ；  ； 2、(,2)(2,) 3、C

24、⑴ a3 ； ⑵ a4 ； ⑶ a7 ； 5、C 6、xx7、

15a或x 22x3x2或x0；xx2或x0 8、C 9、D

5

常见不等式的解法(学生版)

一、一元一次不等式 解下列关于x的不等式

1、2x+3>5 2、-2x+5<6 3、ax>1 4、不等式3(x+1)≥5x-9的正整数解是_________

x5、已知关于x的不等式(3a-2)x+2<3的解集是

二、一元二次不等式

14,则a=______.

1221、x2 2、(x1)2 3、x2+x-2≤4 4、若0＜a＜1，则不等式(x-a)(x-a)＜0的解是______.

1x x225、已知不等式axbx20的解集为

6、不等式2x2-3|x|-35>0的解为______.

13，则ab的值为______.

27、方程mx(2m1)xm0有两个不相等的 实数根，则实数m的取值范围是______.

28、不等式xmxn0的解集是x|2x3，则m= __，n= __.

6

9、函数f(x)

10、对于任意实数x ，一元二次不等式(2m-1)x 2+(m+1)x +(m-4)＞0恒成立，则实数m的取值范围是______.

11、函数f(x)ax2ax+2的定义域为R，则a的取值范围是_________

x2x2的定义域为______________

7

二、分式不等式的解法

2x23x13x10的解集是 2. 不等式1. 不等式21的解集是

3x7x23x

2x23x7x1x11的解集是 4. 不等式3. 不等式2的解集是 xx2x1x1

29xx2x23x21的解集是 6. 不等式20的解集是 5. 不等式

5x2x7x12

1.

2. (-2，3)3. 4.

5.

6.

8

三、无理不等式的解法

无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。

(f(x)0)定义域g(x)型g(x)0 f(x)g(x)题型Ⅰ：f(x)例一 解不等式3x4x30

练习一：解不等式⑴1x3x20 ⑵52xx1

题型Ⅱ：

f(x)0f(x)0f(x)g(x)型g(x)0或

g(x)02f(x)[g(x)]例二 解不等式 52xx1

练习二：解不等式2x3x112x

2

题型Ⅰ练习一(1)x|3x1(2) x|1x2 题型Ⅱ x|x0 49

四、含绝对值的不等式的解法 (一)、公式法：即利用

xa与xa的解集求解。

xa与xa型的不等式的解法。

当a0时，不等式

不等式

x的解集是__________________ 当a0时，不等式xa的解集是________________ xa的解集是________________ 不等式xa的解集是________________

例1 解不等式

x23

a(a0),(二)、定义法:即利用a0(a0),去掉绝对值再解。

a(a0).例2.解不等式

xx。 x2x2

(三)、平方法:解f(x)g(x)型不等式。

例3、解不等式x12x3。

(四)、零点分段法：即通过合理分类去绝对值后再求解。

例4 .解不等式x1x25。

(五)、几何法：即转化为几何知识求解。

例5 对任何实数x，若不等式x1x2k恒成立，则实数k的取值范围为 ( ) (A)k<3

(B)k<-3

(C)k≤3

(D) k≤-3

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（六）、巩固练习 1、设函数

f(x)2x1x3,则f(2)＝ ;若f(x)2，则x的取值范围是 .

x11的实数解为 ．

x22、不等式

3、若不等式

ax26的解集为1,2，则实数a等于 （ ）

A. 8 B. 2 C. 4 D. 8

4、1对任意实数x，|x1||x2|a恒成立，则a的取值范围是 ；

2对任意实数x，|x1||x3|a恒成立，则a的取值范围是 ； 3若关于x的不等式|x4||x3|a的解集不是空集，则a的取值范围是 ；

5、不等式

x2103x的解集为（ ）

A. x|2x10 B. x|2x5 C. x|2x5 D.x|10x5

6、解不等式：x12x2

7、方程

x2x2xx的解集为 ，不等式的解集是 ； 22x3xx3x2x2x8、不等式

x(12x)0的解集是（ ）

12121212A.(,) B.(,0)(0,) C.(,) D. (0,)

9、不等式1|

（参）

x1|3的解集为（ ）.

(2,4) C. (4,0) D. (4,2)A.(0,2) B.(2,0)(0,2)

3(,2)(2,) 3、C 1、 6 ；  ； 2、

2154、⑴ a3 ； ⑵ a4 ； ⑶ a7 ； 5、C 6、xxa或x

227、

x3x2或x0；xx2或x0 8、C 9、D

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