知识框架
第一单元 圆
一、与圆有关的概念
1、圆是由一条曲线围成的平面图形。
2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示； 连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示； 通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。 （1）在同一个圆里，有无数条半径和直径。
（2）在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。 （3）在同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。
3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。 4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的2倍。（d=2r,r=d÷2） 5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径所在的直线。
6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。
7、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π表示。π是一个无限不循环小数。π＝3.141592653…… 我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14，π>3.14 8、周长相等的平面图形中，圆的面积最大；
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面积相等的平面图形中，圆的周长最短。
9、几个直径和为n的圆的周长 = 直径为n的圆的周长（如图） 几个直径和为n的圆的面积 < 直径为n的圆的面积 10、大小两个圆比较：
（1）半径的倍数＝直径的倍数＝周长的倍数， （2）面积的倍数＝半径倍数的平方
（即r扩大n倍，直径扩大n倍，周长扩大n倍，面积扩大n2倍） 11、常用的3.14的倍数：
3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.14×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 3.14×12＝37.68 3.14×14＝43.96 3.14×16＝50.24 3.14×18＝56.52 3.14×24＝75.36 3.14×25＝78.5 3.14×36＝113.04 3.14×49＝153.86 3.14×＝200.96 3.14×81=254.34 12、常用的平方数：
11²＝121 12²＝144 13²＝169 14²＝196 15²＝225 16²＝256 17²＝2 18²＝324 19²＝361 20²＝400 二、圆的周长公式
1、已知圆的半径（r），求圆的周长(c)：C=2πr 2、已知圆的直径（d)，求圆的周长（c）：C=πd 3、已知圆的周长，求圆的半径：r=C÷π÷2 4、已知圆的周长，求圆的直径：d=C÷π
5、求半圆的弧长,半圆的弧长等于圆周长的一半:半圆的弧长=πr或者半圆的弧长=πd÷2 6、求半圆的周长,半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径： C半圆=πr＋2r=5.14r C半圆=πd÷2＋d=2.57d 7、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。 每分前进米数（速度）＝车轮的周长×每分的转数 8、求阴影部分的周长：
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总体思路，记住一点，周长的概念，所有围成这个图形的线段或曲线的长度之和。所以求阴影部分的周长时，
（1）把阴影部分这个图形的轮廓画出来，找出这个图形都由哪些线段、哪些曲线组合起来的。 （2）再分别求出这些线段、曲线的长度，最后相加。比如,这个图形 首先，我找出阴影部分在哪，找出阴影部分后发现 这个阴影部分的周长是由两个圆弧、两个条线段组成。 那么这两个圆弧合起来正好是一个圆的周长，所以这个 阴影部分的周长=10×2×3.14+10×2+10×2 例题：
1、小红沿直径6.4米的圆形花圃边走一周，需要走多少米？（走一周的路程就是圆的周长）
2、一捆电线绕了9圈，每圈直径都是48厘米，这捆电线长多少米？（圆的周长就是绕一圆的长度，有9圈）
3、一种自行车轮胎的外直径60厘米，小红骑车车轮每分钟转动100周。 她骑车每分钟行使多少米？
4、两个小圆的周长的和与大圆的周长相比，哪个长？(单位：厘米）
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5、圆是平面上的一种（ ）图形，围成圆的（ ）的长叫做圆的周长。在大大小小的圆中，它们的周长总是各自圆直径的（ ）倍多一些，我们把这个固定的数叫做（ ），用字母（ ）表示，它是一个（ ）小数，在（ ）和（ ）之间，在计算时，一般只取它的近似值（ ）。
6、一个圆的直径扩大2倍，它的半径扩大（ ）倍，它的周长扩大（ ）倍。
7、画一个周长12.56厘米的圆，圆规两脚间的距离是（ ）厘米。 8、圆周率是圆的（ ）和（ ）比值。 9、小明家买了31.4米长的篱笆，能围成直径多少米的圆形鸡栏？
10、小军用一根30米长的绳子测一棵树的直径，在树干上绕了10圈多了1.74米。这棵树的直径大约多少米？
11、杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮直径80厘米。要骑过125.6米长的钢丝，车轮要滚动多少周？
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12、求下列图形的周长（单位：厘米）
13、求阴影部分周长
14、一个圆形喷水池的周长62.8米，在离水池边0.5米的外面围上栏杆。栏杆长多少米？
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15、杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮直径80厘米。要骑过125.6米长的钢丝，车轮要滚动多少周？
16、一辆汽车轮胎的外直径1.2米，如果每分钟转200周，这辆汽车每小时能行多少千米？（保留整千米）
17、一只大钟的分针长80厘米，它的针尖一昼夜能走多少米？（分针一昼夜走24圈，时针一昼夜走2圈）
判断题：
1、圆的半径有无数条。（ ） 2、圆的直径是半径的2倍。（ ） 3、圆有无数条对称轴。（ ） 4、圆的半径都相等。（ ）
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5、直径4厘米的圆与半径2厘米的圆一样大。（ ） 6、半径2分米的圆的周长和面积一样大。（ ）
7、直径总比半径长。（ ） 8、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。（ ）
9、一个圆的面积和一个正方形的面积相等,它们的周长也一定相等.（ ） 10、半圆的周长就是这个圆周长的一半。（ ） 11、两端都在圆上的线段，直径是最长的一条。（ ） 12、圆的周长是这个圆的直径的3.14倍。（ ） 13、小圆的圆周率比大圆的圆周率小。( )
14、把一张圆形纸片对折若干次，所有折痕相交于圆心。( ) 15、圆的半径扩大3倍，它的直径就扩大6倍。( ) 16、圆周率等于3.14。（ ）
17、半径2厘米的圆，它的周长是6.28厘米。（ ） 18、圆的直径都相等。（ ）
19、经过一点可以画无数个圆。（ ） 20、直径4厘米的圆的周长和面积一样大。（ ） 21、半圆的周长就等于这个圆周长的一半。（ ） 22、半圆的面积就是这个圆面积的一半。（ ） 填空题：
1、两个圆周长的比是2:3，直径的比是（ ）；半径的比是（ ）；面积的比是（ ）。
2、一个圆的半径6分米，如果半径减少2分米，周长减少（ ）分米。 3、小圆半径6厘米，大圆半径8厘米。大圆和小圆半径的比是（ ）；直径的比是（ ）；周长的比是（ ）；面积的比是（ ）。
三、圆面积公式
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1、
2、已知圆的半径，求圆的面积S=πr² 3、已知圆的直径，求圆的面积S=(d÷2)² 4、已知圆的周长，求圆的面积S=（C÷π÷2）² 5、半圆的面积，即整圆面积的一半：
半圆面积=πr²÷2=π(d÷2)²÷2=π（C÷π÷2）²÷2 总之，即圆面积除以2
6、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法分配律进行简便计算。
S圆环=S外圆—S内圆=πR²-πr²=π（R²-r²） 7、正方形里最大的圆：
两者联系：边长＝直径；圆的面积=78.5%正方形的面积 画法：（1）画出正方形的两条对角线；
（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 8、长方形里最大的圆： 两者联系：宽＝直径
画法：（1）画出长方形的两条对角线； （2）以对角线交点为圆心，以宽为直径画圆。
例：在长10分米，宽8分米的长方形中画一个最大的圆，圆的周长和面积各是多少？
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9、在圆内画一个最大的正方形，这个最大的正方形的面积=直径×半径 画法：
10、在半圆内画一个最大的三角形，三角形的底就是圆的直径，三角形的高就是圆的关径。 三角形的面积=直径直径×半径÷2 例题1、
2、（ ）叫做圆的面积。把圆沿着它的半径r分成若干等份，剪开后可以拼成一个近似的（ ），这个图形的长相当于圆周长的（ ），用字母表示是（ ）；宽相当于圆的（ ），用字母表示是（ ）。所以圆的面积S＝( )×( ) ＝( )
3、在长6分米，宽4分米的长方形中画一个最大的圆，圆的面积（ ）
4、用12.56米的铁丝围成一个正方形，正方形面积是（ ），如果把它围成一个圆，圆的面积是（ ）。
5、在长10分米，宽8分米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的周长和面积各是多少？
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6、一根钢管的横截面是环形。内圆半径4厘米，外圆直径10厘米。钢管的横截面积多少平方厘米？（钢管横截面是一个圆环）
7、一个圆形花圃的周长62.8米，它的占地面积是多少？
8、下图池塘的周长251.2米，池塘周围（阴影）是一条5米宽的水泥路，在路的外侧围一圈栏杆。水泥路的面积是多少？栏杆长多少米？
9、两个圆半径的和12厘米，一个圆直径10厘米，另一个圆的面积多少？
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10、一个环形花坛的外直径200米，内半径80米。环形花坛的面积多少平方米？
11、做一个直径1.2米的圆桌面，至少需要多少平方米的木板？如果每平方米木板价格100元，做这个圆桌面至少需要多少元？（得数保留一位小数）
12、将一个半径5厘米的圆形铁片，加工成半径为4厘米的圆形铁片零件，铁片的面积减少了多少平方厘米？
13、求下列图形的周长和面积。（单位厘米）
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14、求阴影部分面积（单位：厘米）
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A O B
第二单元：分数混合运算 一、分数混合运算
1、分数混合运算顺序与整数混合运算顺序相同，没有括号的先算（乘除），再算（加减）;有括号的先算（括号里面的），再算（括号外面的）。 2、整数的运算律在分数运算中同样适用： 加法运算定律：
加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 乘法定律：
乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：a×b×c=a×(b×c) 乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c或a×c+b×c=（a+b）×c 减法定律：
减法的性质a-b-c=a-(b+c)或a-(b+c) =a-b-c 除法的性质：
a÷b÷c=a÷(b×c)或a÷(b×c)= a÷b÷c
3、用方程解决有关分数混合运算的实际问题，关键是找出 （单位1），并把它设为未知数，
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再找出等量关系计算。 4、分数基本性质：
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外）分数的大小不变。
例：
5、分数加减法
同分母分数相加减，分母不变，分子相加减，异分母分数相加减，要先通分为同分母分数再相加减。
二、分数混合运算的应用
1、分数混合运算的应用题解答方法
基本知识规律：
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n甲是乙的 mn甲相当于乙的 等量关系： mnn甲恰好是乙的 乙× =甲 mmn甲占乙的 m（单位“1”是乙） nn甲比乙多 ，等量关系：乙×（1+ ）=甲 mmnn甲比乙少 ，等量关系：乙×（1— ）=甲 mmnn原价，降价 ，等量关系：原价×（1— ）＝现mm价 例题
n用去 全部 的 mn看了 全部 的 mn修了 全部 的 mn卖掉 全部 的 mn完成 全部 的 mn吃了 全部 的 m等量关系： n全部× =用去/看了/修了/卖掉/完成/吃了 mn全部×（1— ）=剩下的 m1
1、⑴某新华书店卖出六年级数学辅导用书6000本，第一天卖出总数的 ，第二天卖出总数
5
1
的 ，剩下的第三天卖完。第三天卖出多少本? 3
11
⑵某新华书店卖出六年级数学辅导用书6000本，第一天卖出总数的 ，第二天卖出余下的 ，
53
剩下的第三天卖完。第三天卖出多少本?
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1
⑶某新华书店卖出六年级数学辅导用书6000本，第一天卖出总数的 ，第二天卖出的是第一
5
1
天卖出的 ，剩下的第三天卖完。第三天卖出多少本?
3
1
⑷某新华书店卖出六年级数学辅导用书6000本，第一天卖出总数的 ，正好是第二天卖出的
5
1
，剩下的第三天卖完。第三天卖出多少本? 3
1
⑸某新华书店卖出六年级数学辅导用书6000本，第一天卖出总数的 ，第二天卖出的比第一
5
1
天卖出的多 ，剩下的第三天卖完。第三天卖出多少本?
3
1
⑹某新华书店卖出六年级数学辅导用书6000本，第一天卖出总数的 ，第二天卖出的比第一
5
1
天卖出的少 ，剩下的第三天卖完。第三天卖出多少本?
3
11
⑺某新华书店卖出六年级数学辅导用书6000本，第一天卖出总数的 ，第二天卖出余下的 ，
53剩下的第三天卖完。第三天比前两天多卖出多少本?
11
⑻某新华书店卖出六年级数学辅导用书6000本，第一天卖出总数的 ，比第二天卖出的多 ，
53
剩下的第三天卖完。第三天卖出多少本?
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2、⑴一根钢管长12米，第一次截去 ，第二次截去 米，两次共截去多少米？
43
11
⑵一根钢管长12米，第一次截去 ，第二次截去 ，还剩下多少米？
43
11
⑶一根钢管，第一次截去 ，第二次截去 ，第二次比第一次多截去2米，这根钢管长多少
43
米？
3
3、（1）一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的 ，正好行了81千米。离乙地还有多少千米？
8
3
（2）一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的 ，离中点还有 81千米，两地之间的公路长
8
多少千米？
1
4、（1）修一条路，第一天修300米，第二天修了全长的 ，两天共修了570米，这条路长多
4
少米？
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1
（2）修一条路，第一天修了300米，第二天修了全长的 ，还剩下570米，这条路长多少米？
4
15
（3）修一条路，第一天修了300米，第二天修了全长的 ，两天共修了全长的 ，这条路
418
长多少米？
1
5、（1）六年级共有学生300人，女生人数是男生人数的 ，六年级男生有多少人？
4
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（2）六年级共有学生300人，女生人数的 是男生人数的 ，六年级男生有多少人？
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第三单元 百分数及百分数的应用 一、百分数的基本概念
1、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作（百分数），也叫作（百分率）或（百分比）。 2、百分率一般是指（部分）占(整体)的百分之几。
3、小数化百分数时，把小数点向（右）移动（两）位，后面添上百分号；分数化成百分数，可以先化成小数，再化成百分数。
4、百分数化成小数时，把（百分号）先去掉，再把小数点向（左）移动（两）位；百分数化成分数，先写成分母是（100）的分数形式，再化成（最简）分数。 5、求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）？ “是”字前面的数÷“是”字后面的数
6、求一个数比另一个数多（或少）几分之几（或百分之几）？ （大数-小数）÷“比”字后面的数 7、
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8、打折 计算方法：现价÷原价=折扣
9、一件商品打几折，求现价。 计算方法：原价×折数 10、一件商品打几折，求原价。 计算方法：现价÷折数 11、应纳税额。 计算方法： 营业额×税率
12、利息=本金×利率×时间，本金=利息÷利率÷时间，利率=利息÷本金÷时间，时间=利息÷本金÷利率
13、税后利息 计算方法：利息-利息×税率
14、到期后可以取出的钱数 计算方法：本金+税后利息 15、生活中的百分率：
出勤率、缺勤率、发芽率、优秀率、及格率、合格率、命中率、近视率、出粉率、出米率、成活率、出油率、入学率、升学率、森林覆盖率、绿化覆盖率、收视率、体育达标率、疫苗接种率、含糖率、含盐率、正确率、错误率
达标率 = 达标学生人数 ÷ 学生总人数 发芽率 = 发芽种子数 ÷ 种子总数 出勤率 = 出勤人数 ÷ 学生总人数 合格率 = 合格的产品数 ÷ 产品总数 出粉率 = 粉的重量 ÷ 小麦的重量 出油率 = 油的重量 ÷ 花生的重量 出米率 = 米的重量 ÷ 稻谷的重量 成活率 = 成活的数量 ÷ 种植总数 命中率 = 命中的次数 ÷ 投篮总数 含盐率 = 盐的重量 ÷ 盐水的重量 2、有关分数百分数应用题解题技巧与方法指导 一、解分数，百分数应用题的基本步骤： 1、找准单位1——并在题目的文字下面标注
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二、找单位1的方法
1、 部分数和总数
在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。例如我国人口约占世界人口的1/5，世界人口是总数，我国人口是部分数，所以，世界人口就是单位“1”。再如，食堂买来100千克白菜，吃了2/5，吃了多少千克？在这里，食堂一共买来的白菜是总数，吃掉的是部分数，所以100千克白菜就是单位“1”。 解答这类分数应用题，只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。 2、 两种数量比较
分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。 例如：六（2）班男生比女生多1/2。就是以女生人数为标准（单位“1”），男生比女生多的人数作为比较量。在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占” 谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“1”。例如，一个长方形的宽是长的5/12。在这关键句中，很明显是以长作为标准，宽和长相比较，也就是说长是单位“1”。又如，今年的产量相当于去年的4/3倍。那么相当于后面的去年的产量就是标准量，也就是单位“1”。 3、 原数量与现数量
有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。这类分数应用题的单位“1”比较难找。例如，水结成冰后体积增加了1/10，冰融化成水后，体积减少了1/12。象这样的水和冰两种数量到底谁作为单位“1”？两句关键句的单位“1”是不是相同？用上面讲过的两种方法不容易找出单位“1”。其实我们只要看，原来的数量是谁？这个原来的数量就是单位“1”！比如水结成冰，原来的数量就是水，那么水就是单位“1”。冰融化成水，原来的数量是冰，所以冰的体积就是单位“1”。 三、如何根据分率句来写等量关系
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四、百分数题型分类及解题方法 百分数应用题三种类型
第一大类求分率用除法：求一个数是另一个数的百分之几
1. 直接求一个数是另一个数的百分之几 一个数÷另一个数 2. 求一个数比另一个数多百分之几 多的部分÷单位1 3. 求一个数比另一个数少百分之几 少的部分÷单位1 例：（1）男生有25人，女生有20人，女生是男生的百分之几？ （2）男生有25人，女生有20人，男生比女生多百分之几？ （3）男生有25人，女生有20人，女生比男生少百分之几？ 第二大类单位1已知用乘法：求一个数的百分之几是多少
1. 直接求一个数的百分之几是多少 单位1×分率 2. 求比一个数多百分之几的数是多少 单位1×（1＋分率） 3. 求比一个数少百分之几的数是多少 单位1×（1－分率） 例：（1）男生有25人，女生是男生的80% ，女生有多少人？ （2）女生有20人，男生比女生多25%，女生有多少人？ （3）男生有25人，女生比男生少20%，女生有多少人？
第三大类单位1未知用除法：已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 1. 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 已知量÷分率=单位1
2. 已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数 已知量÷（1＋多的分率）=单位1 3. 已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数 已知量÷（1－少的分率）=单位1 例：（1）女生有25人，是男生的80%，男生有多少人？ （2）男生有25人，比女生多25%，女生有多少人？ （3）女生有20人，比男生少20%，男生有多少人？
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例题：
1、一套西服，上衣840元，裤子210元，裤子的价钱是上衣的（ ）%，上衣的价钱是这套西服的（ ）%。
2、甲数是25，乙数是20，甲数比乙数多（ ）%，乙数比甲数少（ ）% 3、五月份销售额比四月份增加15%，五月份销售额相当于四月份的（ ）%；四月份销售额比五月份减少（ ）%。
4、在“元旦大酬宾”活动中，电视机降价了5%，现价是原价的（ ）%。 5、“六一”期间游乐场门票八折优惠，现价是原价的（ ）%。儿童文具店所有学习用品一律打九折出售，节省（ ）%。
6、张大伯今年水稻产量比去年增产二成，今年产量相当于去年的（ ）%。 7、大豆种子的发芽率是98%，发芽数占种子总数的（ ）%，未发芽数占种子总数的（ ）%。
8、（ ）比45多20%；45比（ ）少20%。
9、从学校到文化宫，甲要20分钟，乙要16分钟。乙的速度比甲快（ ）%，乙的时间比甲少（ ）%。
10、一批零件经检验，发现有4个不合格，合格率是98%，那么有（ ）个合格零件。 11、用80粒大豆种子作发芽试验，结果有4粒没有发芽。种子的发芽率是（ ）%，如果需要3800棵大豆苗，需要播种（ ）粒大豆种子。 12、
13、解方程。25%X = 75 60%X－35%X = 125 X－40%X = 120
X＋15%X = 115 15X-30=150 8X+42=178 14、一个电饭煲的原价220元，现价160元。电饭煲的价格降低了百分之几？（百分号前保留一位小数）
15、从1997年至今，我国铁路进行多次提速。有一列火车，原来每小时行驶80千米，提速后，这列火车的速度比原来增加了40%。现在这列火车每小时行驶多少千米？ 16、修一条高速公路，甲队修了全长的60%，乙队修了全长的30%，甲队比乙队多修27千米。
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这条公路全长多少千米？
17、把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率是4.14%。到期时，一共能取回多少钱？（利息税是5%） 18、西乡今年荔枝大丰收，产量达到3.6万吨，比去年增产了二成，西乡去年荔枝的产量是多少万吨?
19、儿童游乐场的门票原来每张30元，“春节”期间八折优惠，刘老师一家3口去游乐场玩，购买门票一共能省多少元？ 四、比的认识 （一）、比的意义
1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除3以后项所得的商，叫做比值。 例如 15 ： 10 = 15÷10= （比值通常用分数2表示，也可以用小数或整数表示） ∶ ∶ ∶ ∶
前项 比号 后项 比值
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。 4、区分比和比值
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。 6、 比和除法、分数的联系：
7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。 8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。
体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。
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（二）、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。 4、化简比：
5、按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。 6、 路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，时间比则为5：4） 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。 （如：工作总量相同，工作时间比是3：2，工作效率比则是2：3） （三）和比的应用题有关的概念
1、求每份数的方法 和÷分数和=每份数 相差数÷相差份数=每份数 部分数÷对应份数=每份数
2、图形求比的常见公式 长方体：（长+宽+高）的和=棱长和÷4 长方形：（长+宽）的和=周长÷2
3、相遇问题 速度和 = 路程÷相遇时间 （四）比的应用 ★知识体系
1、在工农业生产和生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配方法通常叫按比例分配。
按比例分配应用题分为三种情况，看下面的三个例子：
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例（1）一年级与二年级共有学生130人，一年级与二年级人数比是5︰8，两个年级各有学生多少人？
例（2）二年级比一年级多30人，一年级与二年级人数比是5︰8，两个年级各有多少人？ 例（3）二年级有80人，一年级与二年级人数比是5︰8，一年级有多少人？
首先，我利用线段图对三种类型的应用题进行比较，找出它们的相同点与不同点。
★解题方法总结：
在解决“比的应用”的有关问题时，要抓住解题关键，用所给的数量除以对应的份数，求出每份数，然后用每份数分别乘所求数量的份数，从而求出所求数量。类型不同的题要用不同的方法求出每份数：
（1）“已知两数的和与两数的比，求两数分别是多少？” 每份数=两数的和÷比各项的和 （2）“已知两数的差与两数的比，求两数分别是多少？”每份数=两数的差÷比各项的差 （3）“已知其中一项与两数的比，求另一个数是多少？” 每份数=其中一项÷对应的份数 题型体系 ●己知总数和比。 解题方法：
（1）每份数=两数的和÷比中各项的和
（2）用各部分数占的份数×每份数 求出每部分量。 3、答题并检验。
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例1、 沙、石共36吨，沙与石的比是1：8，沙、石各是多少吨？
2、水泥、沙子和石子的比是2：3：5。要搅拌20吨这样的混凝土，需要水泥、沙子和石子各是多少吨？
3、用120厘米的铁丝做一个长方体的框架。长、宽、高的比是3：2：1。这个长方体的长、宽、高分别是多少？体积是多少？ ●已知一个量和比。
解题方法：1、每份数=其中一项÷对应的份数
2、用各部分数占的份数×每份数 求出每部分量。 3、答题并检验。
例1、男工有40人，男工与女工的比是4：5，女工有多少人？一共有多少人？ 2、一种什锦糖是由水果糖、奶糖、软糖按5：3：2混合而成的。 （1）如果先称20千克的水果糖，奶糖与软糖各需多少千克？ （2）如果先称出15千克的奶糖，水果糖与软糖各需多少千克？
3、学校美术组的人数是书法组的，美术组人数与数学组人数的比是3∶5。书法组有30人，数学组有多少人？ ●已知相差数和比。
解题方法：1、每份数=两数的差÷比中各项的差
2、用各部分数占的份数×每份数 求出每部分量。 3、答题并检验。
例1、男工与女工的比是4：5，女比男多4人，男、女各多少人？
2、沙和石的比是7：9，沙比石少10吨，沙、石各多少吨？
3
3、一桶油用去的量占剩下的 ,已知这桶油共有50千克，用去了多少千克?还剩下多少千
7克？
3
4、一套西装320元，其中裤子的价格是上衣的 ，上衣和裤子的价格各是多少元？
5
比的应用练习题 一、判断
（1）大圆的半径是小圆半径的3倍，则小圆面积与大圆面积的比是1∶
9。 （ ） （2）一项工程，甲独做5天完成，乙独做8天完
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成，甲、乙的工作效率比为5∶8。 （ ） （3）把一个圆柱体木料削成一个最大的圆锥，削去部分和圆锥体积的比是2∶1。 （ ） 二、填空
（1）被减数和减数的比是7∶3，减数与差的比是（ ）。
（2）在一个直角三角形中，两个锐角度数比为5∶4，其中较小的一个锐角是（ ）度。 （3）甲仓库存粮比乙仓库多，那么乙仓库存粮比甲仓库少（ ），乙仓库存粮与两仓库总数的比是（ ）。 三、解答题
1、某妇产医院上月新生婴儿303名，男女婴儿人数之比是51：50.上月新生男女婴女各有多少人？
2、学校把栽70棵树的任务，按照六年级三个班的人数分配给各班，一班有46人，二班有44人，三班有50人。三个班各应栽多少棵树？
3、空气中氧气和氮气的体积比是21：78。660m3 空气中有氧气和氮气各多少立方米？
2
4、胡伯伯家的菜地共800 平方米，准备用 种西红柿，剩下的按2：1的面积比种黄瓜和
5
茄子。三种蔬菜的面积分别是多少平方米？
10
5、冰融化成水后，水的体积变为冰的体积的 。现在一块冰，融化成水以后的体积是30立
11
方米 ，这块冰的体积是多少立方分米？
6、一个三角形，三条边长的比是4：5：6，用150厘米长的铁丝围成这样的两个完全一样的三角形，每个三角形的三条边各长多少厘米？
7、水是由氢和氧按1：8的质量比化合而成的，36各克水中含氢和氧各多少千克？
4
8、李惠家8月份共缴纳水费、电费、煤气费140元，其中电费占整个费用的 ，水费与煤气
7
费的比是1：3，李惠家水费、电煤气费各付多少元？
2
9、（1）张大爷养了200只鸡，鸡的只数是鸭的 。养了多少只鸭？
53
（2）张大爷养了200只鸡，鸡的只数比鸭少 。养了多少只鸭？
5
（3）张大爷养的鸭和鸡共有700只，鸭和鸡的只数之比是5：2.鸭和鸡分别有多少只
6
12、狮子奔跑时的最高时速可以达到60千米/时，大约是猎豹的 。猎豹奔跑时的最高时速
11
大约是多少？
10、中国农历中的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天。这一天，北京的白昼时间
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与黑夜时间的比是5：3。白昼和黑夜分别是多少小时？
11、某仓库里储存了150吨大米、60吨面粉和15吨杂粮，，这个仓库里储存的大米、面粉和杂粮的比。并把它化成最简单的整数比。 五、数据处理
六、常用的数量关系
1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 3、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 4、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率
5、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数
6、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 7、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
8、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数
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解方程
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X－ 27 X= 2X + 25 = 70%X +
45
53=20×41 25% + 10X = 54 X
25
125 ÷X=310 53 X = 0.36×5-
72
162613÷ ＝12 6X＋5 =13.4 X÷ = × 4354525七、常见的单位换算 【长度单位】
1千米=1000米=10000分米=100000厘米=1000000毫米 1米=10分米=100厘米
【面积单位】
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 一平方千米=1000000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 相邻面积单位间的进率是100。大单位转化成小单位乘以进率，小单位转化成大单位除以进率。
【体积、容积单位】
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1000立方毫米 1升=1000毫升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升
相邻体积间进率为1000。大单位转化成小单位乘以进率，小单位转化成大单位除以进率。 【质量单位】
1吨=1000千克 1千克=1000克 【人民币单位换算】
1元=10角 1角=10分 1元=100分
【时间换算】 1世纪=100年 1年=12月 1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 例题
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20%X = 3.6 X×- 15%X = 68 332 x = X453
1厘米=10毫米 1分米=10厘米
40000平方米=( )公顷 300公顷=( )平方千米 2平方千米=( )公顷 6平方分米=( )平方厘米 34平方米=( )平方分米 88平方分米=( )平方厘米 650000平方米=( )公顷
2.6立方分米=（ ）立方厘米 3800立方分米=（ ）立方米 2.06立方米= （ ）立方分米
3080立方分米=（ ）立方米 4立方分米=（ ）立方厘米 400立方厘米=（ ）立方分米
4.2立方分米=（ ）立方厘米 420立方厘米=（ ）立方分米 4.02立方分米=（ ）立方厘米
2.8立方分米=( )立方厘米 0.08 3m=（ ）L= （ ）mL =( )d3m =( )c3m 3.8升=（ ）升（ ）毫升 0.8升=( )毫升 2.7立方米=( )升 8000毫升=( )升=( ) 立方米
2吨＝( )千克 8米＝( )分米 5000克＝( )千克 3千克＝( )克 1.5时=（ ）分
7千米＝( )米 400厘米＝( )米 6000千克＝( )吨 2.25时=（ ）时（ ）分
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