北师大版七年级下册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)

幂的运算（基础）

【学习目标】

1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）； 2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】

要点一、同底数幂的乘法性质

北师大版七年级下册数学

amanamn(其中m,n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、

多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即aaaamnpmnp（m,n,p都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数

与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即

amnaman（m,n都是正整数）.

要点二、幂的乘方法则

(am)namn(其中m,n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.

要点诠释：（1）公式的推广：((am)n)pamnp (a0，m,n,p均为正整数)

（2）逆用公式： amnaman，根据题目的需要常常逆用幂的乘

nm方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则

(ab)nanbn (其中n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再

把所得的幂相乘.

要点诠释：（1）公式的推广：(abc)abc (n为正整数).

nnnnnn （2）逆用公式：abab逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其

n11是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：21021.

22要点四、注意事项

（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.

（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗

漏.

（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.

（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】

类型一、同底数幂的乘法性质

10101、计算：

（1）424344；（2）2a3a4a5a22a6a；

（3）(xy)n(xy)n1(xy)m1(xy)2n1(xy)m1． 【答案与解析】 解：（1）原式449．

3452617777（2）原式2aa2a2aa2aa．

（3）原式(xy)nn1m1(xy)2n1m1(xy)2nm(xy)2nm2(xy)2nm．

234【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a的指数是1．在第（3）小题中把xy看成一个整体． 举一反三： 【变式】计算：

（1）35(3)3(3)2；

（2）xp(x)2p(x)2p1（p为正整数）； （3）32(2)2n(2)（n为正整数）． 【答案】

解：（1）原式35(3)3323533323532310． （2）原式xpx2p(x2p1)xp2p2p1x5p1． （3）原式2522n(2)252n1262n．

20，求2x的值．

x22x22 【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22、已知2x2【答案与解析】 解：由2x2x20得2x2220．

∴ 25．

【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：a类型二、幂的乘方法则

3、计算：

（1）(a)；（2）[(m)]；（3）(a)． 【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a，（2）题中的底数是m，（3）题中的底数a的指数是3m，乘方以后的指数应是2(3m)62m． 【答案与解析】

m2解：（1）(a)a342mmnaman．

m2343m2．

12122(3m)62m（2）[(m)](m)m．

a（3）(a)a． 【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.

3m24、（2016春•湘潭期末）已知ax=3，ay=2，求ax+2y的值．

【思路点拨】 直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案． 【答案与解析】 解：∵ax=3，ay=2， ∴ax+2y=ax×a2y=3×22=12．

【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键． 举一反三：

【变式1】已知x2，x3．求xab3a2b的值．

【答案】 解：x3a2bx3a【答案】

解：因为83m(8m)343, 82n(8n)25225.

x2b(xa)3(xb)223328972． mn3m2n【变式2】已知84，85，求8的值．

88所以8类型三、积的乘方法则

3m2n3m2n251600.

5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：

（1）(ab)2ab2； （2）(4ab)3a3b3； （3）(3x3)29x6． 【答案与解析】

解：（1）错，这是积的乘方，应为：(ab)2a2b2． （2）对．

（3）错，系数应为9，应为：(3x)9x． 【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：

【变式】（2015春•铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555． 【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×

]=﹣．

326重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】 一.选择题

1.（2015•杭州模拟）计算的x3×x2结果是（ ） A．x6 2．aann2n3北师大版七年级下册数学

B．6x

的值是( )．

nn2C． x5 C. a2n2D． 5x

D. a

8A. a B. a 3．（2016•淮安）下列运算正确的是（ ）

A．a2•a3=a6

2 B．（ab）2=a2b2

3 C．（a2）3=a5 D．a2+a2=a4

103044．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).

A. 100×10＝10 B. 1000×10＝10 C. 100×10＝10 D. 100×1000＝10

5．下列计算正确的是( )． A.xyxy

33359x 6．若2ab8abC.3x224mn3

成立，则( )．

D.2xyB.5xy22235x2y4 8x3y6

915A. m＝6，n＝12 C. m＝3，n＝5 二.填空题 8. 若aB. m＝3，n＝12 D. m＝6，n＝5

7.（2016•大庆）若am=2，an=8，则am+n= ．

3x3naa19，则x＝_______．

5，那么a6n______． 3m83x181，则x＝______． 10．若aaa，则m＝______；若39. 已知a23211. 2______； n ______； 3＝______．

2n12.若n 是正整数，且a10，则(a3n)28(a2)2n＝__________.

335三.解答题

13.（2015春•莱芜校级期中）计算：（﹣x）3•x2n﹣1+x2n•（﹣x）2．

384314.（1） x(x)(x)； （2）(ab)(ab)；

123332233535（3）10(0.310)(0.410)； （4）b2a2ab；

（5）

5a3a62n3n333a3；

15.（1）若xxx35，求n的值．

（2）若abb【答案与解析】 一.选择题

1. 【答案】C；

nm3a9b15，求m、n的值．

【解析】解：原式=x3+2=x5，故选C． 2. 【答案】C； 【解析】aa3. 【答案】B；

nn2ann2a2n2.

【解析】解：A、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；

B、（ab）2=a2b2，故本选项正确； C、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误； D、a2+a2=2a2，故本选项错误．故选B．

4. 【答案】C；

【解析】100×10＝10；1000×10＝10；100×1000＝10.

24101355. 【答案】D；

332 【解析】xyxy；5xy3225x2y4；3x29x4.

26. 【答案】C； 【解析】2ab二.填空题

7. 【答案】16；

【解析】解：∵am=2，an=8，∴am+n=am•an=16，故答案为：16. 8. 【答案】6；

【解析】a3x1a19,3x119,x6. 9. 【答案】25； 【解析】a6nmn38a3mb3n8a9b15,3m9,3n15，解得m＝3，n＝5.

a3n5225.

210.【答案】5；1；

【解析】a3ama3ma8,3m8,m5；33x18134,3x14,x1. 11.【答案】；n；3； 12.【答案】200；

【解析】(a)8(a)三.解答题 13.【解析】

解：（﹣x）3•x2n﹣1+x2n•（﹣x）2 =﹣x2n+2+x2n+2 =0． 14.【解析】

解：（1）x(x)(x)xxxx；

38432412373n222n910a2n8a2n1000800200.

321233169322aba6b4；

32735358（3）10(0.310)(0.410)0.30.41010101.210；

（2）(ab)(ab)（4）b2a（5）5a15.【解析】 解：（1）∵xx

n3n332ab52ab2ab2ab；

358623a3a325a1227a9a32a12.

3 ∴ x ∴4n＋3＝35 ∴n＝8

（2）m＝4，n＝3

4n3x35 x35

解：∵abb3n3mnm33a9b15

3n3m3 ∴ abbab ∴3n＝9且3m＋3＝15 ∴n＝3且m＝4

a9b15

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

同底数幂的除法

【学习目标】

1. 会用同底数幂的除法性质进行计算． 2. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 3．掌握科学记数法． 【要点梳理】

要点一、同底数幂的除法法则

同底数幂相除，底数不变，指数相减，即aaa（a≠0，m、n都是正整数，并且mn）

要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.

（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂

任何不等于0的数的0次幂都等于1.即a1（a≠0）

要点诠释：底数a不能为0，0无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、负整数指数幂

00mnmn北师大版七年级下册数学

任何不等于零的数的n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即an（a≠0，n是正整数）.

引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.

1anamanamn（m、n为整数，a0）；

abmambm（m为整数，a0，b0）

amamn（m、n为整数，a0）.

n要点诠释：ana0是a的倒数，a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代

n数式.例如2xy1115（xy0），ab（ab0）. 52xyabn要点四、科学记数法的一般形式

（1）把一个绝对值大于10的数表示成a10的形式，其中n是正整数，1|a|10

n（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即a10整数，1|a|10.

用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】

类型一、同底数幂的除法

的形式，其中n是正

1、计算：

1183（1）xx；（2）(a)3a；（3）(2xy)5(2xy)2；（4）．

33【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号． 【答案与解析】 解：（1）xxx53x5．

（2）(a)3aa31a2．

（3）(2xy)5(2xy)2(2xy)52(2xy)38x3y3．

8383111（4）333535311． 392【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．

2、计算下列各题：

（1）(xy)5(xy) （2）(5a2b)12(2b5a)5 （3）(3106)4(3106)2 （4）[(x2y)3]3[(2yx)2]4

【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如(5a2b)12(2b5a)12．（2）注意指数为1的多项式．如xy的指数为1，而不是0． 【答案与解析】

解：（1）(xy)(xy)(xy)(xy)4．

1251257（2）(5a2b)(2b5a)(2b5a)(2b5a)(2b5a)

6226212（3）(310)(310)(310)(310)910．

332498（4）[(x2y)][(2yx)](x2y)(x2y)(x2y)x2y．

551【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．

3、已知32，34，求9【答案与解析】

mnm12n的值．

9m1(32)m132m232m3232m32(3m)232解： 9． 2n22n4n4nn4n49(3)33(3)(3)22329mn当32，34时，原式． 44m3n的式子，【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3，再代入求值．本

m12n题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：

【变式】（2015春•苏州）已知以a=2，a=4，a=32．则a【答案】解：a3mm

nk3m2nk的值为 ．

=2=8，a=4=16，

32n2a3m2nk=a3m•a2n÷ak=8×16÷32=4，

故答案为：4．

类型二、负整数次幂的运算

24、计算：（1）；（2）a2b3(a1b)3(ab)1．

3【答案与解析】

21192解：（1）； 2443293（2）a2b3(a1b)3(ab)1a2b3a3b3aba0bb．

【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：

21【变式】计算：2521232(3.14)0．

2【答案】

41解： 2521232(3.14)0

21111115243211621 222322811516117 3283211n5、 已知3，16，则m的值＝________．

272m4n【答案与解析】 解： ∵ 3nm11333，∴ m3． 2731n44∵ 2n，162，∴ 22，n4．

211n4∴ m(3)． (3)481114【总结升华】先将变形为底数为3的幂，2n，162，然后确定m、n的值，

272最后代值求m． 举一反三：

nn1【变式】计算：（1）(abc)；（2）bcb2c3；

21232323【答案】

b4解：（1）原式abc26．

ac246（2）原式bc8bc类型三、科学记数法

23698bc8128b812． c6、（2014秋•福州）观察下列计算过程：

33135352233333（1）∵3÷3=3，÷==，∴=223333527

11a2a2272755aaaaa（2）当a≠0时，∵a÷a=7=2=，÷==，=,

a5aa5a5a1p由此可归纳出规律是：a=p（a≠0，P为正整数）

a请运用上述规律解决下列问题： （1）填空：310= ；xxx= ．

4n259（2）用科学记数法：3×10= ．（写成小数形式）

（3）把0.00000002写成如（2）的科学记数法a10的形式是： ． 【答案与解析】 解：（1）310=

1； 1031； x2x2x5x9 =x259=x2（2）3×10=0.0003， （3）0.00000002=2×10．

84【总结升华】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

n重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1. （2015•桂林）下列计算正确的是（ ）

A．a北师大版七年级下册数学

52a10 B．x16÷x4=x4 C．2a+3a=6a D．b•b=2b

2243332.下列计算中正确的是( )．

A.xa2xa1x2

22B.xyxyxy 4n2nx3nx3n2 D.xx6312529C.xxxx

3．近似数0.33万表示为（ ）

A．3.3×10

2B．3.3000×10

3C．3.3×10

3D．0.33×10 D．0

44．(1)0(0.125)201282012的结果是（ ）

A．3 B．32 C．2 15.．将()1,(2)0,(3)2这三个数按从小到大的顺序排列为（）

6A．(2)()20161(3)2 161B．()161(2)0(3)2

2C．(3)(2)() 6.下列各式中正确的有（ ）

①()0D．(2)(3)()

01611329;②224；③a01；④11；⑤336．

B．3个

012A．2个 二.填空题

C．4个 D．1个

1107. ()(π)______，13.142＝______．

128. a259． 3ab1a__________,9273__________,3______.

932010702223＝______，ab22＝______．

10．一种细菌的半径为0.0004m，用科学记数法表示为______m.

11．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，

为______次/秒．

12（2015春•江西）若a=-2, a=-三.解答题

13．（2015春•吉州）已知2=3，2=5．求：

xymn12m3n，则a= ． 2（1）2xy的值；

（2）2的值； （3）22xy13x的值．

14．用小数表示下列各数：

（1）8.5×103

（2）2.25×1028

（3）9.03×10345

115. 先化简，后求值：a2b42【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】A； 【解析】A、aa2b1a1b2，其中a2，b3.

52a10，正确； B、x16÷x4=x12，错误；

C、2a+3a=5a，错误； D、b•b=bb3•b3=b6，错误；故选A.

2. 【答案】C； 【解析】xa2222336xa1x；xyxyx3y3 ；x4nx2nx3nx5n .

633. 【答案】C；

【解析】0.33万＝3300＝3.3×10. 4. 【答案】C；

【解析】(1)0(0.125)2012820125. 【答案】A； 【解析】()6. 【答案】D；

【解析】只有①正确；2二.填空题 7. 【答案】3；

2311882012112.

16116,(2)01,(3)29，所以(2)0()1(3)2.

6112；a01a0；11；39. 41； 201 【解析】13.1428. 【答案】a7;27;10；

11403011. 2273 【解析】9273333327.

2010727a6a49.【答案】6；2

bb 【解析】3ab223227a6a424227ab6；abab2.

bb6610.【答案】410； 11.【答案】3.8410；

12.【答案】-32； 【解析】解：a三.解答题 13.【解析】 解：（1）23xxy4112m321am4,a3nan，a2m3n=4

8=﹣32.

=2•2=3×5=15；

xy（2）2=2（3）22xy1x3=3=27；

x23=23•2÷2=3×5÷2=

y2．

14.【解析】

解：（1）8.5×10＝0.0085 （2）2.25×10＝0.0000000225

8

（3）9.03×10＝0.0000903 15.【解析】 解：原式4ab485a6b3a4b84a2b34 a2b3 当a2，b3时，原式

41. 22(3)327重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

整式的乘法（基础）

【学习目标】

1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．

2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算. 【要点梳理】

要点一、单项式的乘法法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.

要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合

应用.

（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系

数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.

（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 要点二、单项式与多项式相乘的运算法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即m(abc)mambmc. 要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为

多个单项式乘单项式的问题.

（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，

同时还要注意单项式的符号.

（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到

最简的结果.

要点三、多项式与多项式相乘的运算法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即abmnamanbmbn.

要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于

北师大版七年级下册数学

两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：xaxbx2abxab. 【典型例题】

类型一、单项式与单项式相乘

1、计算：

（1）3ab2a2b2abc； （2）(2xn1yn)(3xy)23

1312xz； 222（3）6mn(xy)mn(yx)．

【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把xy与yx分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算． 【答案与解析】

解： （1）3abab2abc

213132132(aa2a)(b2bb)c 32a4b4c．

12n1n（2）(2xy)(3xy)xz

21(2)(3)(xn1xx2)(yny)z

23xn4yn1z．

（3）6mn(xy)mn(yx) 6mn(xy)2323132212mn(xy)2 323212 2m3n3(xy)5．

(6)(mm)(nn)[(xy)(xy)]

3【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉． 举一反三：

【变式】（2014•甘肃模拟）计算：2m2•（﹣2mn）•（﹣m2n3）． 【答案】解：2m2•（﹣2mn）•（﹣m2n3）

=[2×（﹣2）×（﹣）]（m2×mn×m2n3） =2m5n4．

类型二、单项式与多项式相乘

2、 计算：

4122abab2abb；

32331（2）xyy2x2(6xy2)；

2334（3）a2ab0.6b2a2b2；

23（1）【答案与解析】 解：（1）4122abab2abb

32312114abab2ab(2ab)abb 2322312a2b3a2b2ab2．

3332122（2）xyyx(6xy)

2331xy(6xy2)y2(6xy2)(x2)(6xy2)

232x2y39xy46x3y2．

4223232422322（3）aab0.6babaabbab

5323234434a2a2b2aba2b2b2a2b2 23353442a4b2a3b3a2b4．

35【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和． 举一反三：

1【变式1】2mn(6mn)m3n．

2242【答案】

1解：原式12mn2mnm32n2

21712m2n2m6n2m6n212m2nm6n2．

4422422【变式2】若n为自然数，试说明整式n2n12nn1的值一定是3的倍数． 【答案】

解：n2n12nn1＝2nn2n2n3n

22 因为3n能被3整除，所以整式n2n12nn1的值一定是3的倍数．

类型三、多项式与多项式相乘

3、计算：

（1）(3a2b)(4a5b)； （2）(x1)(x1)(x21)；

（3）(ab)(a2b)(a2b)(ab)；

（4）5x(x22x1)(2x3)(x5)．

【答案与解析】 解：（1）(3a2b)(4a5b)12a15ab8ab10b12a7ab10b．

2222（2）(x1)(x1)(x21)(x2xx1)(x21)x1．

（3）(ab)(a2b)(a2b)(ab)(a2ab2b2)(a2ab2b2)

4a2ab2b2a2ab2b22ab．

（4）5x(x22x1)(2x3)(x5)

(5x310x25x)(2x27x15)

5x310x25x2x27x15 5x38x212x15．

【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．

4、（2016春•长春校级期末）若（x+a）（x+2）=x2﹣5x+b，则a+b的值是多少？ 【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出a、b的值，计算即可． 【答案与解析】

解：（x+a）（x+2）=x2+（a+2）x+2a， 则a+2=﹣5，2a=b， 解得，a=﹣7，b=﹣14， 则a+b=﹣21．

【总结升华】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 举一反三：

【变式】求出使(3x2)(3x4)9(x2)(x3)成立的非负整数解． 【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解． 解：9x12x6x89(xx6)，

229x26x89x29x54， 9x26x9x29x854， 15x46，

46x．

15∴ x取非负整数为0，1，2，3．

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1．下列算式中正确的是( )． A.3a2a6a44326

北师大版七年级下册数学

B.2x4x8x D.5y75y710y14 C．a3+4a=a3

D．3a2•2a3=6a5

358C.3x3x9x

2．（2016•毕节市）下列运算正确的是（ ） A．﹣2（a+b）=﹣2a+2b B．（a2）3=a5

3．（2014秋•白云区期末）下列计算正确的是（ ）

A．x（x2﹣x﹣1）=x3﹣x﹣1 B．ab（a+b）=a2+b2

C．3x（x2﹣2x﹣1）=3x3﹣6x2﹣3x D．﹣2x（x2﹣x﹣1）=﹣2x3﹣2x2+2x 4．已知2x1x32x2mx3，那么m的值为( )． A.－2

B.2

C.－5

B. a2，b2

D. a2，b2

D.5

5. 要使xxa3x2bx25x4成立，则a，b的值分别是( )．

A. a2，b2 C. a2，b2

6．设M＝x3x7，N＝x2x8，则M与N的关系为( )． A.M＜N B.M＞N C.M＝N D.不能确定 二.填空题

7. 已知三角形的底边为(6a2b)，高是(2b6a)，则三角形的面积是_________. 8. 计算：①x2x3＝________；②x3x7＝______；

③x7x10＝_______；④x5x6＝______．

9.（2016•瑶海区一模）计算：x2y（2x+4y）= ．

10. x(yz)y(xz)z(xy)_______. 11.（2015•江都市模拟）若化简（ax+3y）（x﹣y）的结果中不含xy项，则a的值为 ． 12. 若xy2，xy3，则x1y1＝____________.

三.解答题

13.（2015春•邳州市期末）当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2． （1）由图2，可得等式： ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；

（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）；

（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b的正方形，5 张边长分别为a、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 ．

14. 解下列各方程．

（1）2y(y1)y(3y2)2y2y22 （2）5(x2x3)4x(6x)x(x4)0 15. 化简求值：

1111xx，其中x4．

3232（2）3x2(2x2x1)x(3x34x22x)，其中x1．

（1）【答案与解析】 一.选择题

1. 【答案】B；

【解析】3a2a6a；3x3x9x；5y75y725y14. 2. 【答案】D；

【解析】A、原式=﹣2a﹣2b，错误；B、原式=a6，错误；

C、原式不能合并，错误； D、原式=6a5，正确.

3. 【答案】C；

【解析】解：A、x（x2﹣x﹣1）=x3﹣x2﹣x，故此选项错误；

B、ab（a+b）=a2b+ab2，故此选项错误；

C、3x（x2﹣2x﹣1）=3x3﹣6x2﹣3x，故此选项正确； D、﹣2x（x2﹣x﹣1）=﹣2x3+2x2+2x，故此选项错误；

故选：C．

4. 【答案】D；

【解析】2x1x32x25x32x2mx3，所以m5. 5. 【答案】C；

2b4，所以a2，b2. 【解析】由题意a35，6. 【答案】B；

【解析】M＝x10x21，N＝x10x16，所以M＞N. 二.填空题

7. 【答案】12ab18a2b；

8. 【答案】x5x6;x10x21;x3x70;x11x30. 9. 【答案】x3y+2x2y2；

10.【答案】0；

【解析】原式＝xyxzxyyzxzyz0. 11.【答案】3；

2222222232545

【解析】解：（ax+3y）（x﹣y）=ax2+（3﹣a）xy﹣3y2， 含xy的项系数是3﹣a，

∵展开式中不含xy的项， ∴3﹣a=0， 解得a=3． 故答案为：3．

12.【答案】6；

【解析】原式＝xyxy12316. 三.解答题 13.【解析】

解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，

∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45； （3）如图所示：

（4）根据题意得：2a2+5ab+3b2=（2a+3b）（a+b）， 则较长的一边为2a+3b． 14.【解析】

解：（1）2y22y3y22y2y2y22．

4y2，

1． 2222（2）5x5x1524x4xx4x0．

15x15， x1．

y15.【解析】

111111111111xxxxx2xx 22233233466911x2． 4911182当x4时，原式(4)43．

4999432432432（2）原式6x3x3x3x4x2x3xxx

432 当x1时，原式3(1)(1)(1)3113．

解：（1）原式重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

北师大版七年级下册数学

乘法公式（基础）

【学习目标】

1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】

要点一、平方差公式

平方差公式：(ab)(ab)a2b2

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：如(ab)(ba)利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(3x5y)(3x5y) （3）指数变化：如(m3n2)(m3n2) （4）符号变化：如(ab)(ab) （5）增项变化：如(mnp)(mnp)

（6）增因式变化：如(ab)(ab)(a2b2)(a4b4) 要点二、完全平方公式

22 完全平方公式：aba2abb

2两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

(ab)2a22abb2

a2b2ab2abab2ab

22ab2ab4ab

2要点三、添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式

(xp)(xq)x2(pq)xpq；(ab)(a2abb2)a3b3；

(ab)a3ab3abb；(abc)abc2ab2ac2bc. 【典型例题】

332232222类型一、平方差公式的应用

1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．

(1)2a3b3b2a； (2) 2a3b2a3b； (3) 2a3b2a3b； (4) 2a3b2a3b； (5) 2a3b2a3b； (6) 2a3b2a3b．

【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】

解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算． (2) 2a3b2a3b＝3b－2a＝9b4a．

2222 (3) 2a3b2a3b＝2a －3b ＝4a9b．

2222 (4) 2a3b2a3b＝2a－3b ＝4a9b．

2222 (5) 2a3b2a3b＝3b－2a＝9b4a．

2222【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 举一反三：

【变式】计算：（1）【答案】

x3x3yy； （2）(2x)(2x)； 2222（3）(3x2y)(2y3x)．

22x292x3解：（1）原式yy．

4422（2）原式(2)x4x．

（3）原式(3x2y)(2y3x)(3x2y)(3x2y)9x4y． 2、计算：

(1)59.9×60.1； (2)102×98． 【答案与解析】

解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝600.1＝3600－0.01＝3599.99

(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝1002＝10000－4＝9996． 【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．

举一反三： 【变式】（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算： （1）1232﹣124×122 （2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b） 【答案】

222222222解：（1）1232﹣124×122 =1232﹣（123+1）（123﹣1） =1232﹣（1232﹣1） =1232﹣1232+1 =1；

（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b） =（2a+b）（2a﹣b）（4a2+b2） =（4a2﹣b2）（4a2+b2） =（4a2）2﹣（b2）2 =16a4﹣b4．

类型二、完全平方公式的应用

3、计算：

(1)3ab； (2)32a； (3)x2y； (4)2x3y．

2222【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.

【答案与解析】

222 解：(1) 3ab3a23abb9a6abb．

2222 (2) 32a2a32a22a334a12a9．

222222 (3) x2yx2x2y2yx4xy4y ．

2222 (4) 2x3y2x3y2x22x3y3y4x12xy9y．

2222【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意abab之间的转化．

224、（2015春•吉安校级期中）图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形． （1）用m、n表示图b中小正方形的边长为 ． （2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；

（3）观察图b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）

2

，（m﹣n）2，mn；

（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．

【答案与解析】

解：（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n； （2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2；

方法②：（m+n）2﹣4mn；

（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn； （4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，

∵a+b=7，ab=5， ∴（a﹣b）2=72﹣4×5

=49﹣20

=29．

【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．

5、已知ab7，ab＝12．求下列各式的值： (1) aabb；(2) (ab)2．

【答案与解析】

解：(1)∵ aabb＝ab－ab＝ab－3ab＝7－3×12＝13．

222222222 (2)∵ ab＝ab－4ab＝7－4×12＝1.

22【总结升华】由乘方公式常见的变形：①ab－ab＝4ab；②ab＝ab22222－2ab＝ab＋2ab．解答本题关键是不求出a,b的值，主要利用完全平方公式的整体

2变换求代数式的值． 举一反三：

22【变式】已知(ab)7，(ab)4，求ab和ab的值．

22【答案】

2解：由(ab)7，得a2abb7； ①

2由(ab)4，得a2abb4． ② 22①＋②得2(ab)11，∴ ab22222211． 2①－②得4ab3，∴ ab3． 4重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）

北师大版七年级下册数学

 C.(ab)(ab) D.c33A.(mn)(mn) B.xy2xy ddc

332222．若xy＝6，xy＝5，则x2y2等于( )． A.11 B.15 3．下列计算正确的是( )． A.5m5m＝m25

2C.30 D.60

2B. 13m13m＝13m

22D.( 2abn)(2abn)＝4abn

C.43n43n9n216 4．下列多项式不是完全平方式的是( )． A.x4x4 C.9a6abb

222

1m2m 42D.4t12t9

B.

5．（2015春•重庆校级期中）已知关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为（ ） A．10 B．±10 C．﹣20 D．±20 6．下列等式不能恒成立的是( )．

22A.3xy9x6xyy

2B.abccab

2244D.xyxyxyxy

22C.(11mn)2m2mnn2 242二.填空题

7．若x2ax16是一个完全平方式，则a＝______． 8. 若9x24y2＝3x2yM,则M ＝______． 9. 若xy＝3，xy＝1，则x2y2＝_______.

10.（2015春•陕西校级期末）（1+x）（1﹣x）（1+x2）（1+x4）= ． 11. 5(x2)(x2)2x1___________.

212.若x12，则代数式x2x5的值为________.

222三.解答题

13.（2015春•兴平市期中）用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）． （1）69×71； （2）992．

14.先化简，再求值：3(a1)25(a1)(a1)2(a1)2，其中a3．

15.已知：x2y225,xy7，且xy,求xy的值. 【答案与解析】 一.选择题

1. 【答案】A；

【解析】A中m和m符号相反，n和n符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号

相同的，另一项互为相反数.

2. 【答案】C；

【解析】xyxyxy＝6×5＝30.

223. 【答案】C；

【解析】5m5m＝25m；13m13m＝19m；

22(2abn)(2abn)＝4abn.

4. 【答案】A；

222 【解析】mm(m)；9a26abb2(3ab)2；4t212t9(2t3)2. 5. 【答案】D；

【解析】解：∵关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式， ∴﹣m=±20，即m=±20． 故选：D．

6. 【答案】D；

【解析】xyxyxy21421222x2y22.

二.填空题

7. 【答案】±4；

【解析】x2ax16x24x4，所以a4. 8. 【答案】12xy；

【解析】9x24y2＝3x2y12xy. 9. 【答案】7；

22【解析】xyxy2xy，x2y2927.

2222210.【答案】1﹣x8；

【解析】解：（1+x）（1﹣x）（1+x2）（1+x4）

=（1﹣x2）（1+x2）（1+x4） =（1﹣x4）（1+x4） =1﹣x8， 故答案为：1﹣x8

11.【答案】x4x21；

22 【解析】5(x2)(x2)2x15x44x4x1x4x21.

22212.【答案】6；

【解析】因为x12，所以x22x1,x22x56.

2三.解答题 13.【解析】 解：（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=49； （2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801． 14.【解析】

解：3(a1)25(a1)(a1)2(a1)2

3a22a15a212a22a1

2a10 当a3时,原式=231016.

15.【解析】

解：∵xyx2y22xy，且x2y225,xy7

2∴7252xy，∴xy12，

22∵xyxy2xy252121

22∴xy1

∵xy,即xy0 ∴xy1.

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

整式的除法（基础）

【学习目标】

1. 会进行单项式除以单项式的计算． 2. 会进行多项式除以单项式的计算． 【要点梳理】

要点一、单项式除以单项式法则

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出

现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.

（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组

合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.

要点二、多项式除以单项式法则

多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即

北师大版七年级下册数学

ambmcmmammbmmcmmabc

要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实

质是将它分解成多个单项式除以单项式.

（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变

化.

【典型例题】

类型一、单项式除以单项式

1、计算：

（1）(4xy)(2xy)；

3422222y3nz7xmyxmynz3；

322（3）[(xy)(xy)](xy)(xy)；

（2）x2m1（4）[12(ab)(bc)][4(ab)(bc)]． 【思路点拨】（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）中多项式因式当做一个整体参与计算． 【答案与解析】

解：（1）(4xy)(2xy)16xy4xy4xy． （2）x2m123422226844242y3nz7xmyxmynz3

3211(x2m1xmxm)(y3nyyn)(z7z3)

33xy2n1z4．

2（3）[(xy)(xy)]2(xy)2(xy)

(xy)2(xy)2(xy)2(xy) (xy)2(xy)xy．

（4）[12(ab)2(bc)][4(ab)(bc)]

(124)[(ab)2(ab)][(bc)(bc)] 3(ab)3a3b．

【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数． 举一反三： 【变式】计算：

（1）15ab3ab； （2）5x5y3z3x2y2； （3）【答案】

解：（1）15a3b3ab(153)(a3a)(bb)5a2b05a2． （2）5xyz3xy(53)(xx)(yy)z（3）53225232312212abcab； （4）(10106)(2103)． 2653xyz． 312212112abcab(aa)(b2b2)c3ab0c3ac． 262663633（4）(1010)(210)(102)(1010)510．

2、（2015春•泾阳县校级月考）金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最漂亮的一颗星．金星离地球的距离为4.2×107千米，从金星射出的光到达地球需要多少时间？（光速为3.0×105千米/秒） 【答案与解析】 解：t=

秒，

答：从金星射出的光到达地球需要1.4×102秒．

【总结升华】本题考查了同底数幂的除法法则，关键是利用时间=路程÷速度这一公式，此题比较简单，易于掌握． 类型二、多项式除以单项式

113、计算（1）x52x4x3x ；

2232（2）27x18x3x3x.

2【思路点拨】直接利用多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加计算． 【答案与解析】

11解：（1）x52x4x3x

2211x52x4x3x2241111x5x22x4x2x3x2

44244x38x22x32（2）27x18x3x3x

27x33x18x23x3x3x9x6x122

【总结升华】本题考查多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，要注意符号的处理．

4、计算：

（1）(6x3y27x4y)xy； （2）(3x44x22x)(2x)； （3）(12x2y28xy24y2)(4y2)； （4）0.3abab【答案与解析】

解：（1）(6xy7xy)xy(6xyxy)(7xyxy)6xy7x． （2）(3x4x2x)(2x)

423243242321332143ab(0.5a2b)． 6[(3x4)(2x)][4x2(2x)][(2x)(2x)]

3x32x1． 2（3）(12x2y28xy24y2)(4y2)

12x2y2(4y2)(8xy2)(4y2)4y2(4y2) 3x22x1

13214322（4）0.3ababab(0.5ab)

36110.3a2b(0.5a2b)a3b2(0.5a2b)a4b3(0.5a2b)

36321aba2b2．

533【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计

算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化． 举一反三：

【变式1】计算：

1x32x2(3xy3)3y9x4y2；

2（2）[(x2y)(x2y)4(xy)2]6x．

（1）(3xy)2【答案】

解： （1）原式9x2y21y9x4y2 2 (9x5y227x5y10)9x4y2x3xy8．

x32x227x3y9（2）原式[x24y24(x22xyy2)]6x

(x24y24x28xy4y2)6x (5x28xy)6x 54xy． 63【变式2】（2015春•滕州市校级月考）计算：[（3a+b）2﹣b2]÷3a．

解：[（3a+b）2﹣b2]÷3a， =（9a2+6ab+b2﹣b2）÷3a， =（9a2+6ab）÷3a， =3a+2b

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1. 下列计算结果正确的是（ ）

A．2xy2xy2xy B．3xy5xy2xy C．28xy7xy4xy D．3a23a29a24

4232334222北师大版七年级下册数学

2. 28ab7ab的结果是 ( )

A.4ab B.4ab C. 4ab 3.（2015•下城区二模）下列运算正确的是（ ） A．（a3﹣a）÷a=a2 B．（a3）2=a5

22422423D. 4ab

C．a3+a2=a5 D．a3÷a3=1

4. 如果□×3ab＝3ab，则□内应填的代数式是（ ） A.ab B.3ab C.a D.3a 5．下列计算正确的是( )．

n1nn1nA.3xyz÷3xyz ＝0

22B.15xy10xy5xy3x2y

C.(3xy6xy)6xy21x 227D.(3xn2xn1)1n1x9x33x2 36. 太阳的质量约为2.1×10（ ）

6t，地球的质量约为6×1021t，则太阳的质量约是地球质量的

556A.3.5×10倍 B.2.9×10倍 C.3.5×10倍 D.2.9×10倍

二.填空题

227. 计算：9ab6ab3ab＝_______.

8. 2xy•（______）＝6x2yz． 9. 计算9xy346x4y33x2y333x2y22x3yxy.

4(2)aa＝_______；

210．直接写出结果：

(1)a105a＝_______；

42(3)xxx＝_______； (5)a(4)10÷10(6)yx2nnn2＝_______；

n13mam＝_______；

xy＝_______．

11．（2015春•成都校级月考）（﹣a6b7）÷

4= ．

312．学校图书馆藏书约3.6×10册，学校现有师生约1.8×10人，每个教师或学生假期平

均最多可以借阅______册图书. 三.解答题

13.（2014秋•陇西县期末）（1）计算：（

）2÷（﹣

）2

（2）计算：（x2y﹣xy2﹣y3）（﹣4xy2）． 14. 先化简，再求值：5a4a23a62aa223822，其中a＝－5．

15．天文学上常用太阳和地球的平均距离1.4960×10千米作为一个天文单位，已知月亮和

地球的平均距离约为384401千米，合多少天文单位?(用小数表示，精确到0.0001)

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】C；

【解析】A、2x2y32xy4x3y4，所以A选项错误；B、两个整式不是同类项，不

能合并，所以B选项错误；D、3a23a29a24，所以，D选项

错误.

2. 【答案】D； 3. 【答案】D；

【解析】解：A、（a3﹣a）÷a=a2﹣1，错误；

B、（a3）2=a6，错误；

C、a3与a2表示同类项，不能合并，错误； D、a3÷a3=1，正确；

故选D． 4. 【答案】C； 5. 【答案】D；

22n1nn1n 【解析】3xyz÷3xyz ＝1；15xy10xy5xy3x2y；

(3x2y6xy)6xy6. 【答案】C；

271x1. 22165 【解析】（2.1×10）÷（6×10）＝0.35×10＝3.5×10.

二.填空题

7. 【答案】3a2b； 8. 【答案】3xz；

【解析】6x2yz÷2xy＝3xz. 9. 【答案】3xy；

10. 【答案】(1)a；(2)－a；(3)x；(4)100；(5) a 【解析】（6）yx11．【答案】﹣3a2b5； 【解析】解：（﹣a6b7）÷

故答案为：﹣3a2b5.

12．【答案】20册；

【解析】3.6×10÷（1.8×10）＝20. 三.解答题 13.【解析】 解：（1）（

==

）2÷（﹣×

；

xy5.

）2

432n22242m；(6) xyn1 ；

xyn1xy2nn1xyn1.

=，

（2）（x2y﹣xy2﹣y3）（﹣4xy2）=﹣3x3y3+2x2y4+ 14. 【解析】

612解：原式＝5a9aa4a

 ＝4a4a ＝a

当a＝－5时，原式＝－25. 15.【解析】

解：由题意得：384401÷1.4960×10≈0.0026（个天文单位） 答：月亮和地球的平均距离约为0.0026个天文单位.

82重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

《整式的乘除》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、

北师大版七年级下册数学

多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算； 【知识网络】

【要点梳理】 要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：2.幂的乘方：3.积的乘方：4.同底数幂的除法：

0

，n为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. (m，n为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. (m (n为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.

，n为正整数，并且mn). (a≠0, m同底数幂相除，底数不变，指数相减.

5.零指数幂：a1a0.即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：an1（a≠0，n是正整数）. an 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即m(abc)mambmc(m,a,b,c都是单项式). 3.多项式乘以多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即abmnamanbmbn.

要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质

符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：xaxbxabxab.

24.单项式相除

把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式

先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.

即：(ambmcm)mammbmmcmmabc 要点三、乘法公式

1.平方差公式：(ab)(ab)a2b2

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，a，b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.

222. 完全平方公式：aba2abb；(ab)2a22abb2

2两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 【典型例题】

类型一、幂的运算

1、计算下列各题：

（1）(3102)3(103)4 （2）[3(mn)2]3[2(mn)3]2

（3）(2xy)(3xy) （4）(2a)(3a)[(2a)]

【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘. 【答案与解析】

233432334解：（1）(310)(10)3(10)(10)27102.710．

1819

2624363223（2）[3(mn)][2(mn)]3(mn)(2)(mn)

2332362627(mn)64(mn)6108(mn)12．

（3）(2xy)(3xy)

26243(1)626x6y12(1)333x6y12x6y1227x6y1237x6y12．

632236662232366（4）(2a)(3a)[(2a)](1)2a(1)3(a)(1)(2a)

a69a6a69a6．

【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别． 举一反三： 【变式】当a【答案】

1231332，b＝4时，求代数式a(b)(ab)的值． 42311771解：a3(b3)2(ab2)3a3b6a3b6a3b64656.

288842、已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，一个体积是480m3的房间内的空气质量

是多少？（保留3个有效数字）

【答案与解析】

解： ∵ 480m48010cm4.8010cm，

∴ 0.0012394.81081.2391034.81085.9472105(g)

5.9472102(kg)≈5.95102(kg)． 【总结升华】当数据太大或太小时，可逐步计算，力求使计算准确无误． 举一反三：

【变式】计算：（1）(3107)(2103)；（2）(2104)2(5103)；

（3）(6106)(3102)；（4）(2102)3(4103)2．

【答案】

解：（1）原式(32)(107103)6104；

（2）原式(4108)(5103)(45)(108103)201011210（3）原式(63)106(2)2108；

1036383；

110612810121.281010． 16类型二、整式的乘除法运算

（4）原式81063、解下列方程．

（1）2x(x1)x(2x5)=12 （2）3x(7x)=18(3x15)x 【答案与解析】

解：（1）2x2x2x5x=12，

3x=12， x=4． （2）21x3x=183x15x，

6x=18，

x=3．

【总结升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项，按照解一元一次方程的方法求解．

4、（2015春•扬州）“若aa（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n”．你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！ （1）如果273，求x的值； （2）如果28162，求x的值； （3）如果3x2xx5x9mn22225x2153x8，求x的值．

【思路点拨】（1）把等号左边的式子利用幂的乘方转化为以3为底数的幂，根据等式的左边=右边，即可求解．

（2）把等号左边的式子利用幂的乘方以及同底数的幂的乘法法则转化为以2为底数的幂，则对应的指数相等，即可求解；

（3）把等号左边的式子利用积的乘方的逆运用转化为以15为底数的幂，则对应的指数相等，即可求解． 【答案与解析】 解：（1）273∴3x=9， 解得：x=3．

（2）281622xxx3x33x39，

23x4x223x24x213x4x25，

∴1﹣3x+4x=5， 解得：x=4． （3）3x25x235x215x2153x8，

∴x+2=3x﹣8， 解得：x=5．

【总结升华】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方法则． 举一反三：

【变式】（1）已知2732m27，求m的值．

1baa2b（2）已知1020，10，求93的值．

5n3m2nm（3）已知23，24，求2的值．

3(m1)2mm1【答案】

解：（1）由题意，知(33)m132m27．∴ 3∴ 3m32m3，解得m6．

a22（2）由已知1020，得(10)20，即10a2a33．

112b，得10． 5252ab400．由已知1012a2b104．∴ 2a2b4 ，即1025a2b2a2b2a2b3481． ∴ 93333nm3m2n（3）由已知23，得227．由已知24，得216．

273m2n23m22n∴ 2．

16类型三、乘法公式

∴ 10102b4005、对任意整数n，整式(3n1)(3n1)(3n)(3n)是否是10的倍数？为什么？

【答案与解析】

解：∵(3n1)(3n1)(3n)(3n)

(3n)21(32n2)9n219n210n21010(n21)， 10(n21)是10的倍数，∴ 原式是10的倍数．

【总结升华】要判断整式(3n1)(3n1)(3n)(3n)是否是10的倍数，应用平方差公

式化简后，看是否有因数10． 举一反三： 【变式】（2015秋•泰州）计算： （1）2m5

22（2）a3a3a9

2【答案】（1）2m54m20m25；

22（2）a3a3a9

a29a29

a481

6、已知ab3，ab4，求： (1)ab；(2)ab

223322【思路点拨】在公式aba2abb中能找到ab,ab,a2b2的关系.

2【答案与解析】

解：(1) aba2abb2ab

2222ab2ab

∵ab3，ab4， ∴a2b2322417 (2)abaababb

3332232a2abbabab

aba2abb2

ab[ab3ab]

∵ab3，ab4，

3323∴ab33463.

【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路.

2北师大版七年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】 一.选择题

1. 下列运算不正确的是（ ） A.a52a10 B.b7b3b4

5525C.2a2(3a3)6a5 D.bbb 2．（2015•包头）下列计算结果正确的是（ ）

01336A．2aa3a B．(a)2a3a6 C．4 D．21

223.若xkx25是完全平方式，则k的值是（ ）

A . —10 B. 10 C. 5 D.10或—10

2354. 2（ ）

135A.1 B.1 C.0 D.1997

5. 下列计算正确的是（ ）

A. bx2y32xy33x B. xyC.2xy19971997223xy32x3y38xyy

D. ababa

2223322246. 计算(5103)(7104)的正确结果是 ( )

A. 3510 B. 3.510 C. 0.3510 D. 3.510

7. 一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm，则这个正方形的边长为（ ） A.6cm B.5cm C.8cm D.7cm

27978. 若(2x3y)(2x3y)A则A( )

A.12xy B.24xy C.－24xy D.－12xy 二.填空题 9．化简a222m2an＝______．

2210．如果x2mx9是一个完全平方式，那么m＝______． 11.计算：a2b＝________ 3x1＝________. 12. 若x3x30，2x6x6x＝__________.

2321261ab)(ab3)2＝ _______. 932414.（2015春•陕西）1x1x1x1x ．

13. 计算:(ab472315.已知x115，那么x22＝_______. xx2416.下列运算中，结果正确的是___________

①aaa2325，②(a)a， ③aaa2，④

2xy3yx，

32⑤xabxab，⑥xabxba，⑦xx，

⑧ x三.解答题

3x，⑨ xyyx

32217. 先化简，再求值：(3x2x)(x)(xx)3x其中x24321 218.（2015•北京）已知2a3a60．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值． 19．已知：xya，xyb，试用a，b表示下列各式：

（1）x2y2；(2)xy；(3)x2yxy2．

20．某种液晶电视由于原料价格波动而先后两次调价，有三种方案：(1)先提价10％，再降

价10％；(2)先降价10％，再提价10％；(3)先提价20％，再降价20％．问三种方案调价的最终结果是否一样？为什么？ 【答案与解析】 一.选择题

1. 【答案】D； 2. 【答案】C；

【解析】解：A、2aa3a，故错误；B、(a)2a3a5，故错误；

C、正确；D、21（﹣2）0=1，故错误；故选：C．

023333. 【答案】D；

22 【解析】x10x5x5

24. 【答案】B；

5 【解析】135. 【答案】B；

21997325319975131351997119971.

1322333 【解析】bxy2xybx；2xyxy8xy；

2a3b2a2b2a.

36. 【答案】B； 7. 【答案】D；

22 【解析】设正方形边长为x，则面积为x，由题意得x2x32，解得x7.

28. 【答案】C； 二.填空题 9. 【答案】a2m2ana2mn.

210.【答案】±3；

222 【解析】x2mx9x3x23x3.

11.【答案】a4ab4b；9x6x1；

2212.【答案】0；

【解析】2x36x26x2xx23x6x2x36x0.

13.【答案】6ab1；

22471261211ab)(ab3)2(a4b7a2b6)a2b66a2b1.

393399814.【答案】1x；

【解析】(ab2【解析】解：1x1x1x4=1x1x=1x1x1x

42241x=1x48，故答案为：1x.

815.【答案】23；

111 【解析】xx22225，∴x22=23.

xxx16.【答案】③⑤⑥⑨；

【解析】在整式的运算过程中，符号问题和去括号的问题是最常犯的错误，要保证不出

现符号问题关键在于每一步的运算都要做到有根据，能够用定理法则指导运算.

三.解答题 17.【解析】

解：原式3x2x3x3x

32232x2 11 当x=时,原式=.

2418.【解析】

解：∵2a3a60，即2a3a6， ∴原式=6a3a4a12a3a1617. 19.【解析】

222解：（1）xyxy2xya2b；

22(2)xyxy4xya4b；

2222222(3)x2yxy2xyxyab． 20．【解析】

解：设a为原来的价格

(1) 由题意得：a110%110%0.99a （2）由题意得：a110%110%0.99a

（3）由题意得：a120%120%1.2a0.80.96a. 所以前两种调价方案一样.

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

两条直线的位置关系（基础）知识讲解

【学习目标】

1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线；

北师大版七年级下册数学

2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题；

3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质； 4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离. 【要点梳理】

要点一、同一平面内两条直线的位置关系

同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行. 要点诠释：

（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.

（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点. 两条直线相交只有一个交点. 要点二、对顶角、补角、余角 1.余角与补角

（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．

类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一

个角叫做另一个角的余角．

（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等． 要点诠释：

(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关． (2)一个锐角的补角比它的余角大90°． 2.对顶角

（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． 要点诠释：

(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.

(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角. （2）性质：对顶角相等． 要点三、垂线

1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．

要点诠释：

(1)记法：直线a与b垂直，记作：ab；

直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.

(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：

判定AOC90°CD⊥AB．

性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．

要点诠释：

(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．

(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质：

（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 要点诠释：

（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 4．点到直线的距离：

定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 要点诠释： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；

（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【典型例题】

类型一、两条直线的位置关系

1.如图，在正方体中：

（1）与线段AB平行的线段_________； （2）与线段AB相交的线段______；

（3）与线段AB既不平行也不相交的线段______．

【答案】

（1）CD、A1B1、C1D1； （2）BC、BB1、A1A、AD；

（2）A1D1、D1D 、B1C1、CC1． 【解析】

（1）与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行． （2）与线段AB相交的线段的种类为：①交于B点的线段，②交于A点的线段． （3）用排除法，在正方体中除了线段AB外还有11条棱，在这11条棱中排除（1）（2）中的线段，便得到与线段AB既不平行也不相交的线段． 【总结升华】考查平行线与相交线的定义． 类型二、对顶角、补角、余角

2．如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数．

【思路点拨】观察图形可以得到一些角的和差关系． 【答案与解析】

解：∵ ∠1＋∠2＝180°，∠1＝65°，

∴ ∠2＝180°－65°＝115°． 又∵∠3＝∠1＝65°， 同理，∠4＝∠2＝115°．

综上得，∠3＝∠1＝65°， ∠4＝∠2＝115°．

【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角． 举一反三：

【变式】如图所示，两直线相交，已知∠l与∠2的度数之比为3:2，求∠1与∠2的度数．

【答案】

解：设∠1与∠2的度数分别为3x和2x．根据题意，得

3x+2x＝180°．

解这个方程得x＝36°，所以3x＝108°，2x＝72°． 答：这两个角的度数分别是108°，72°．

类型三、垂线

3．下列语句中，正确的有 ( ) ①一条直线的垂线只有一条．

②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直． ③两直线相交，则交点叫垂足．

④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C

【解析】正确的是：②④

【总结升华】充分理解垂直的定义与性质. 举一反三：

【变式】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).

A．点P到直线l的垂线的长度. B．点P到直线l的垂线段.

C．点P到直线l的垂线段的长度. D．点P到直线l的垂线. 【答案】C

4. (山东济宁)如图所示，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O， ∠COE＝55°．则∠BOD的度数为 ( ).

A．40° B．45° C．30° D．35° 【答案】D

【解析】要求∠BOD，只要求出其对顶角∠AOC的度数即可．为此要寻找∠AOC与∠COE的数量关系．因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°，所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－55°＝35°，所以∠BOD＝AOC＝35°．

【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质. 举一反三：

【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40, 则∠EOF=_______.

【答案】130°．

5. 如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来，并说明原因．

【思路点拨】两点之间线段最短，而点线之间垂线段最短．

【答案与解析】

解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．

【总结升华】 “如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用． 举一反三：

【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条? (3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条? 【答案】

解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．

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两条直线的位置关系（基础）巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1．下列说法正确的是 ( )

A.不相交的两条直线是平行线.

B.如果线段AB与线段CD不相交,那么直线AB与直线CD平行. C.同一平面内,不相交的两条射线叫做平行线. D.同一平面内,没有公共点的两条直线是平行线.

2．点A为直线外一点,点B在直线上,若AB=5厘米,则点A到直线的距离为( )

A. 就是5厘米 B. 大于5厘米 C. 小于5厘米 D.最多为5厘米

3．(湖南邵阳)如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是( )

北师大版七年级下册数学

A．20° B．25° C．30° D．70° 4．如图所示，点A到BD的距离是指( )

A．线段AB的长度 B．线段AD的长度 C．线段AE D．线段AE的长度 5．如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形共有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6.如图，AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（ ）

A．26° B．° C．54° D．以上答案都不对

二、填空题

7．在平面上，过直线上一点可以画这条直线的垂线的条数为 条．

8．如图，直线a，b相交，∠1＝60°，则∠2＝________，∠3＝________，∠4＝________．

9．如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥AB，若∠COE＝30°，则∠AOE＝_____，∠AOF＝______．

10．如图，直线AB与CD的位置关系是________，记作________于点________，此时∠AOD＝______＝______＝______＝90°．

11.如图，∠AOB＝90°，则AB BO；若OA＝3 cm，OB＝2 cm，则A点到OB的距离是________cm，点B到OA的距离是________cm；O点到AB上各点连结的所有线段中________

最短．

12．如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是 ．

三、解答题

13．如图，三条直线AB、CD和EF相交于一点O，∠COE+∠DOF＝50°，∠BOE＝70°，求∠AOD和∠BOD．

14．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，OE是OD的反向延长线．

(1) ∠AOC等于∠BOD吗？请说明理由； (2) 若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数．

15．如图所示，小明家在A处，他要去在同一条路上的小丽家或小红家或小华家或小刚家问作业，则最少要走多少米可以问到作业?

【答案与解析】 一、选择题

1. 【答案】D；

【解析】考查平行线的概念． 2．【答案】D；

【解析】点到直线的距离是该点到直线上所有点的距离中最小者． 3. 【答案】D；

【解析】∠1＝40°，∠BOC＝140°，∠2＝

1∠BOC＝70°． 24. 【答案】D； 5. 【答案】B

【解析】只有（3）中的∠1与∠2是对顶角． 6. 【答案】B；

【解析】∠BOE＝90°－∠1＝°，又∠AOF＝∠BOE＝°．

二、填空题 7．【答案】1；

【解析】在平面内过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，“一点”可以在已知直线上，也可以在已知直线外．

8. 【答案】120°， 60°， 120°； 9. 【答案】60°， 120°；

【解析】∠AOE＝90°－∠COE＝60°，

∠AOF＝∠AOD+∠DOF＝90°＋∠EOC＝90°+30°=120°． 10.【答案】垂直，AB⊥CD， O，∠BOD， ∠BOC，∠AOC； 【解析】垂直的定义．

11.【答案】＞， 3， 2， 垂线段； 【解析】点到直线的距离的定义 12.【答案】50°；

【解析】由题意知：∠BOD＝∠AOC=

1∠EOC＝50°． 2三、解答题 13.【解析】

解：∵ ∠COE＝∠DOF(对顶角相等)，∠COE+∠DOF＝50°(已知)，

∴ ∠COE＝

150°25°．∵ ∠BOE＝70°， 2∴ ∠BOC＝∠BOE－∠COE＝70°－25°＝45°． ∵ ∠AOD＝∠BOC(对顶角相等)．

∴ ∠AOD＝45°．∴ ∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－45°＝135°． 14.【解析】

解： (1)∠AOC＝∠BOD．

理由：∵ OA⊥OB，OC⊥OD(已知)． ∴ ∠AOB＝90°，∠COD＝90°．

即∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOD+∠BOC＝90°， ∴ ∠AOC＝∠BOD(同角的余角相等)． (2)∵ ∠AOB＝90°，∠BOD＝32°，

∴ ∠AOE＝180°－∠AOB－∠BOD＝180°－90°－32°＝58°． 15.【解析】

解：小明到小红家问作业最近，所以小明至少要走15米．

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

同位角、内错角、同旁内角 知识讲解

【学习目标】

1.了解“三线八角”模型特征；

2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们． 【要点梳理】

北师大版七年级下册数学

要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念 1. “三线八角”模型

如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.

图1 要点诠释：

⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．

⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．

2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1，

（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.

（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.

（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 要点诠释：

(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.

(2)“三线八角”有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角． 要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征

要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：

(1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨. (2)借助方位来识别

根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．

【典型例题】

类型一、“三线八角”模型

1.

(1)图3中，∠1、∠2由直线 被直线 所截而成． (2)图4中，AB为截线，∠D是

否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？

【答案】(1) EF，CD； AB． （2）不是 ．

【解析】（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线． （2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．

【总结升华】判断 “三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.

类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别

2.如图，(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?

(2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？ (3)∠B和∠E是同位角吗?为什么?

【答案与解析】

解：（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角；

（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE； （3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,

所以∠B和∠E不是同位角.

【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析. 举一反三：

【变式】（2016春•邹城市校级期中）如图所示，下列说法错误的是（ ）

A．∠1和∠3是同位角 B．∠1和∠5是同位角 C．∠1和∠2是同旁内角 D．∠5和∠6是内错角 【答案】B

解：从图上可以看出∠1和∠5不存在直接联系，而其它三个选项都符合各自角的定义，正确．

3. （2014秋•太康县期末）如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．

【答案与解析】

解：内错角：∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8； 同旁内角：∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5； 同位角：∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6．

【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然. 举一反三：

【变式】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？ 【答案】

解：同位角：∠5与∠1，∠4与∠3；

内错角：∠2与∠3，∠4与∠1；

同旁内角：∠4与∠2，∠5与∠3，∠5与∠4. 4. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.

【答案与解析】

解： 同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；

内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；

同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．

【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析． 举一反三：

【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．

【答案】

解：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角；

∠2与∠8，∠3与∠5是内错角； ∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角.

类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系

5. 如图直线DE、BC被直线AB所截，

(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？ (2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？

【答案与解析】

解：(1)∠1和∠2是内错角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角． 每组中两角的大小均不确定． (2) ∠1与∠2相等，∠1和∠3互补. 理由如下： ① ∵∠1=∠4（已知）

∠4＝∠2（对顶角相等） ∴∠1＝∠2.

② ∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义) ∠1＝∠4(已知)

∴∠1＋∠3＝180° 即∠1和∠3互补.

综上，如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．

【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并且所有的内错角相等，所有同旁内角互补． 举一反三：

【变式1】若∠1与∠2是内错角，则它们之间的关系是 ( ) ．

A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2 【答案】D

【变式2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C （提示：②④正确）．

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重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1．如图，直线AD、BC被直线AC所截，则∠1和∠2是( ). A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角 2．如图，能与构成同位角的有( ).

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．（2016春•迁安市期中）下列命题中，真命题有（ ）

（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； （2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等； （3）经过两点有一条直线，并且只有一条直线；

（4）如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若∠1与∠2是同位角，则它们之间的关系是( ). A．∠1＝∠2 ； B．∠1＞∠2 ；

C．∠1＜∠2； D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2. 5．（2015•宿迁）如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（ ）

A．同位角 B．内错角

C．同旁内角 D．邻补角

6. 已知图（1）—（4）：

在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的（ ）. A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3） D．（1） 7.如图，下列结论正确的是（ ）.

A．∠5与∠2是对顶角； B．∠1与∠3是同位角； C．∠2与∠3是同旁内角； D．∠1与∠2是同旁内角.

有

8.在图中，∠1与∠2不是同旁内角的是 （ ）.

二、填空题

9．（2015•鞍山二模）如图，当直线BC、DC被直线AB所截时，∠1的同位角是_______，同旁内角是_______；当直线AB、AC被直线BC所截时，∠1的同位角是________；当直线AB、BC被直线CD所截时，∠2的内错角是________． 10．如图，

(1)∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角； (2)∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角；

(3)∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角； (4)∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线 所截得的________角； (5)∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线 所截得的________角． 11．如图，若∠1＝95°，∠2＝60°，则∠3的同位角等于________，∠3的内错角等于________，∠3的同旁内角等于________． 12．（2016春•昆明校级期中）如图，标有角号的7个角有 对内错角， 对同位角， 对同旁内角．

13．如图，直线a、b、c分别与直线d、e相交，与∠1构成同位角的角共有________个，和∠l构成内错角的角共有________个，与∠1构成同旁内角的角共有________个．

14.如图，三条直线两两相交，其中同旁内角共有 对，同位角共有 对，内错角共有 对.

三、解答题

15．如图，∠1和哪些角是内错角? ∠1和哪些角是同旁内角? ∠2和哪些角是内错角? ∠2和哪些角是同旁内角?它们分别是由哪两条直线被哪一条线截成的?

16．指出图中的同位角、内错角、同旁内角．

17. （2015春•惠城区期中）指出图中各对角的位置关系：

（1）∠C和∠D是 角； （2）∠B和∠GEF是 角； （3）∠A和∠D是 角； （4）∠AGE和∠BGE是 角； （5）∠CFD和∠AFB是 角．

【答案与解析】 一、选择题

1. 【答案】A

【解析】∠1与∠2是直线AD、BC被直线AC所截而成，且这两角都在被截线AD、BC之间，在截线AC两侧，所以为内错角． 2．【答案】B

【解析】如图，与能构成同位角的有：∠1，∠2，∠3．

3. 【答案】B

【解析】（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线

段最短，正确；

（2）应为两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项错误； （3）经过两点有一条直线，并且只有一条直线，正确； （4）应为如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一

条垂直，故本选项错误． 所以（1）（3）两项是真命题．

4. 【答案】D

【解析】由两角是同位角，内错角或同旁内角得不出它们大小之间的关系． 5. 【答案】A． 6. 【答案】C

【解析】图（2）或图（4）中的∠1与∠2没有公共边，不属于“三线八角”中的角． 7. 【答案】D 8. 【答案】D

【解析】选项D中∠1与∠2没有公共边，不属于“三线八角”中的角． 二、填空题

9.【答案】∠2, ∠5, ∠3, ∠4

【解析】先看哪两条线被哪一条线所截，再判断它们的关系．

10.【答案】(1)BD(或BC), 同位； (2)AC, 内错； (3)AB, AC, BC, 同旁内; (4)AB， AC， BC，同位； (5)AB， CE， BC，同旁内．

【解析】可以从复杂图形中抽出简单图形进行分析． 11．【答案】85°， 85°， 95°

【解析】∠3的同位角和内错角均与∠1互补，故它们的度数均为：180°－95°=85°，

而∠3的同旁内角是∠1的对顶角，所以∠3的同旁内角的度数等于∠1的度数．

12．【答案】4对内错角：分别是∠1和∠4，∠2和∠5，∠6和∠1，∠5和∠7；

2对同位角：分别是∠7和∠1，∠5和∠6；

4对同旁内角：分别是∠1和∠5、∠3和∠4、∠3和∠2、∠4和∠2．

13．【答案】3，2，2

【解析】如图，与∠1是同位角的是：∠2, ∠3,∠4；与∠1是内错角的是：∠5, ∠6；与∠1是同旁内角的是：∠7，∠8．

14．【答案】6, 12, 6

【解析】每个“三线八角”有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，而两两相交，且不交于同一点的三条直线共有三个“三线八角”，所以同旁内角共有：326（对），同位角共有：3412（对），同旁内角共有：326（对）． 三、解答题 15. 【解析】

解：∠1和∠DAB是内错角，由直线DE和BC被直线AB所截而成； ∠1和∠BAC是同旁内角，由直线BC和AC被直线AB所截而成；

∠1和∠2也是同旁内角，是直线AB和AC被直线BC所截而成； ∠1和∠BAE也是同旁内角，是直线DE和BC被直线AB所截而成； ∠2和∠EAC是内错角，是直线DE和BC被直线AC所截而成； ∠2和∠BAC是同旁内角，是直线AB和BC被直线AC所截而成； ∠2和∠1也是同旁内角，是直线AB和AC被直线BC所截而成； ∠2和∠DAC也是同旁内角，是直线DE和BC被直线AC所截而成． 16．【解析】

解：如图，可分解成三个基本图形，由图(1)得内错角：∠BAD和∠B； 由图(2)得同位角：∠DAE和∠C，同旁内角：∠CAD和∠C；

由图(3)得同位角：∠BAE和∠C，内错角：∠B和∠BAE，同旁内角：∠B和∠C，∠B和∠BAC，∠C和∠BAC．

即原图形有两组同位角，两组内错角，四组同旁内角．

17.【解析】 解：（1）∠C和∠D是同旁内角； （2）∠B和∠GEF是同位角；

（3）∠A和∠D是内错角；

（4）∠AGE和∠BGE是邻补角； （5）∠CFD和∠AFB是对顶角； 故答案为：（1）同旁内角 （2）同位角 （3）内错角 （4）邻补角 （5）对顶角

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

平行线的判定（基础）知识讲解

【学习目标】

1.熟练掌握平行线的画法； 2.掌握平行公理及其推论；

3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】

要点一、平行线的画法及平行公理 1.平行线的画法

北师大版七年级下册数学

用直尺和三角板作平行线的步骤：

①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.

③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.

④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 2.平行公理及推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释：

(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 要点二、平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠3＝∠2

∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠1＝∠2

∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠4＋∠2＝180°

∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【典型例题】

类型一、平行公理及推论

1．下列说法中正确的有 ( ) ①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B 2个 C．3个 D．4个 【答案】 A 【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，故选A．

【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解． 举一反三：

【变式】直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是 . 【答案】平行

类型二、平行线的判定

2.（2015秋•龙岗区期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．

A2FBG1

【思路点拨】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD． 【答案与解析】证明：∵BE⊥FD， ∴∠EGD=90°， ∴∠1+∠D=90°，

又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°， ∴∠1=∠2，

又已知∠C=∠1， ∴∠C=∠2， ∴AB∥CD．

【总结升华】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余． 举一反三： 【变式1】（2016•郑州一模）如图，能判定EC∥AB的条件是（ ）

CED

A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE 【答案】D.

提示：A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；

B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；

C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误； D、正确．

【变式2】已知，如图，BE平分ABC，CF平分BCD，1＝2，求证：AB//CD．

【答案】∵ 1＝2

∴ 21＝22 ，即∠ABC＝∠BCD

∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）

3.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．

【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”． 【答案与解析】

解：(1)由∠1＝∠3，

可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）； (2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：

∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4 可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

综上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.

【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．

4.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？

【答案与解析】

解：这两条直线平行.理由如下： 如图：

∵ b⊥a, c⊥a ∴ ∠1＝∠2＝90°

∴ b∥c (同位角相等，两直线平行) ．

【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法. 举一反三：

【变式】已知，如图，EFEG，GMEG，1＝2，AB与CD平行吗？请说明理由．

【答案】

解：AB∥CD．理由如下：如图：

∵ EFEG，GMEG (已知)，

∴ ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)． 又∵ ∠1＝∠2(已知)， ∴ ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)， 即∠3＝∠4． ∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

平行线的判定（基础）巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1.下列关于作图的语句正确的是 （ ）. A．画直线AB=10厘米. B．画射线OB=10厘米.

C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线. D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行. 2．下列判断正确的个数是 ( ).

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两条不相交的直线叫做平行线；③在同一平面内不相交的两条射线是平行线．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是 ( ). A．平行的性质 B．等量代换

C．平行于同一直线的两条直线平行 D．以上都不对

4．下列说法中不正确的是 ( ). A．同位角相等，两直线平行. B．内错角相等，两直线平行. C．同旁内角相等，两直线平行.

D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.

5．如图所示，给出了过直线l外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是 ( ).

北师大版七年级下册数学

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上都不对 6．（2015•福州）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（ ）

A．B．C． D 二、填空题

7.两条射线或线段平行，是指 .

8．如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，则直线a与b的位置关系是________．

9．（2015春•伊宁市校级月考）如图，

（1）要证AD∥BC，只需∠B= ，根据是 ； （2）要证AB∥CD，只需∠3= ，根据是 ．

10．如图，已知若∠1+∠2=180°，则∠3+∠4= ，AB CD．

11．小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________． 12. 已知直线a、b都过点M，且直线a∥l，b∥l，那么直线a、b是同一条直线，根据是________． 三、解答题

13.（2015春•南平期末）已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，试说明：BE∥CF． 解：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）

∴ = =90°（ ） ∵∠1=∠2（已知）

∴ = （等式性质）

∴BE∥CF（ ）

14．（黄石)已知如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，那么CD与AB平行吗?写出推理过程．

15．如图所示，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度，说明理由．

【答案与解析】 一、选择题

1.【答案】D； 2.【答案】A；

【解析】①该点若在已知直线上，画不出与已知直线平行的直线；②平行线的定义必须强调在同一平面内，如图①中的AB与CC′不相交，但也不平行．③如图②中，射线AB与射线CD既不相交，也不平行．

3．【答案】C；

【解析】这是平行线的传递性，其实质是平行公理的推论． 4. 【答案】C；

【解析】同旁内角互补，两直线平行. 5. 【答案】A；

【解析】这种作法的依据是：同位角相等，两直线平行． 6. 【答案】B；

【解析】如图所示：

∵∠1=∠2（已知），

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选B 二、填空题

7. 【答案】射线或线段所在的直线平行； 8．【答案】平行；

【解析】由已知可得：∠2＝30°，所以∠1＝∠2，可得：a∥b.

9．【答案】∠1，同位角相等，两直线平行；∠2，内错角相等，两直线平行． 10.【答案】180°，∥ ；

【解析】∠1＝∠3，∠2＝4，可得：∠3+∠4＝∠1+∠2＝180°.

11.【答案】平行；

【解析】平行公理的推论

12.【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 【解析】这是平行公理的具体内容. 三、解答题 13.【解析】

解：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）， ∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直的定义）， ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠3=∠4（等式性质），

∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：∠ABC；∠BCD；90°；∠3；∠4；内错角相等，两直线平行． 14．【解析】

解：CD∥AB．理由如下：

∵ BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线， ∴ ∠3＝

11∠ADC，∠2＝∠ABC． 22 ∵ ∠ABC＝∠ADC，

∴ ∠3＝∠2． 又∵ ∠1＝∠2， ∴ ∠3＝∠1．

∴ CD∥AB(内错角相等，两直线平行)． 15. 【解析】

解： ∠4＝100°．理由如下： ∵ ∠1＝60°，∠2＝60°， ∴ ∠1＝∠2． ∴ AB∥CD．

又∵ ∠3＝∠4＝100°， ∴ CD∥EF． ∴ AB∥EF．

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

平行线的性质及尺规作图（基础）知识讲解

【学习目标】

1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理.

2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念. 3．了解尺规作图的基本知识及步骤；

4. 通过用尺规作图活动，进一步丰富对“平行线及角”的认识. 【要点梳理】

北师大版七年级下册数学

要点一、平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：

（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．

(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点二、两条平行线的距离

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 的距离． 要点诠释：

（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．

(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 要点三、尺规作图

1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图． 要点诠释：

（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．

（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 2.八种基本作图（有些今后学到）： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． （6）已知一角、一边做等腰三角形． （7）已知两角、一边做三角形． （8）已知一角、两边做三角形． 【典型例题】

类型一、平行线的性质

1．（2015秋•昌邑市期末）已知：如图，AB∥DC，点E是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AE⊥DE．

【思路点拨】过E作EF∥AB，再由条件AB∥DC，可得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠5，∠4=∠6，然后可得∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，进而得到结论． 【答案与解析】

证明：过E作EF∥AB， ∵AB∥DC，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠1=∠5，∠4=∠6， ∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°， ∴AE⊥DE．

【总结升华】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 举一反三：

【变式】（2015•泰州）如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2= ．

【答案】140°． 【解析】如图， ∵l1∥l2，

∴∠3=∠1=40°， ∵∠α=∠β， ∴AB∥CD，

∴∠2+∠3=180°，

∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°． 故答案为140°．

类型二、两平行线间的距离

2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则( ) ．

A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定 【答案】B

【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．

【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合． 举一反三：

【变式】如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为 平方厘米．

【答案】5 (提示：连接BF，则BF∥AC)

类型三、尺规作图

3．已知：∠AOB．

利用尺规作： ∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．

【思路点拨】先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角． 【答案与解析】

作法一：如图(1)所示，（1）以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C；（2）以点C为圆心，以CA′的长为半径画弧，•交前面的弧于点B′； （3）过点B′作射线O B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．

作法二：如图（2）所示，（1）画射线O′A′；

（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；

（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A•′于点E；

（4）以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，•以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；

（5）画射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．

【总结升华】本题考查作一个倍数角等于已知角，需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部．•作法一在已知角的基础上作图较为简便一些．

类型四、平行的性质与判定综合应用

4．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝( )

A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】C

【解析】过点C作CD∥AB，

∵ CD∥AB，

∴ ∠BAC＋∠ACD＝180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵ EF∥AB

∴ EF∥CD．（平行公理的推论）

∴ ∠DCE＋∠CEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE

∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝∠BAC＋∠ACD＋∠DCE＋∠CEF＝180°＋180°＝360° 【总结升华】这是平行线性质与平行公理的推论的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC ＋∠ACE＋∠CEF＝360°． 举一反三：

【变式】如图所示，如果∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系 ．

【答案】平行

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知识点梳理及重点题型巩固练习

平行线的性质及尺规作图（基础）巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1．下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行；③同位角相等，两直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是 ( ) ． A．① B．②和③ C．④ D．①和④

2．如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于 ( ) ．

A．60° B．90° C．120° D．150°

3．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是( ) ．

4．（2016•安徽模拟）如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（ ）

A．34° B．56° C．66° D．54°

5．(南通)如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为( ) ．

A．60° B．70° C．80° D．120°

6．(山东德州)如图所示，直线l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于( ) ．

A．55° B．30° C．65° D．70° 二、填空题

7．如图，AB∥CD，BC∥AD．AC⊥BC于点C，CE⊥AB于点E，那么AB、CD间的距离是________的长，BC、AD间的距离是________的长．

8. 画线段AB，延长线段AB到点C，使BC=2AB；反向延长AB到点D，使AD=•AC，则线段CD＝______AB．

9. (浙江湖州)如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝______度．

10．如图，在四边形ABCD中，若∠A+∠B＝180°，则∠C+∠D＝_______．

11．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝________．

12．（2016春•鄂城区月考）如图，已知AB∥CD，∠α= ．

三.解答题

13．如图，已知AB∥CD，MG、NH分别平分∠BMN与∠CNM，试说明NH∥MG?

14. 如图，a∥b∥c，∠1＝60°，∠2＝36°，AP平分∠BAC，求∠PAQ的度数．

15.（2015春•东莞校级期末）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化．若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？

【答案与解析】 一.选择题

1. 【答案】A；

性质判定

角的关系. 【解析】两直线平行2. 【答案】C；

【解析】∠2+∠1＝180°，又∠2＝2∠1，所以∠2＝120°. 3. 【答案】Ｂ；

【解析】∠2与∠1的对顶角是同位角的关系. 4. 【答案】B；

【解析】∵AB∥CD，∴∠D=∠1=34°，

∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，

∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．故选B． 5. 【答案】B

【解析】注意到CD∥OE∥AB，由“两直线平行，同位角相等”可知∠AOE＝∠D＝

30°，∠EOC＝∠B＝40°．故∠AOC＝∠EOC+∠AOE＝40°+30°＝70°． 6. 【答案】C；

【解析】∠3＝180°－40°－75°＝65°. 二、填空题

7.【答案】线段CE，线段AC； 8.【答案】6；

【解析】如图所示，因为BC＝2AB，所以AC=3AB，又AD=AC，•所以CD＝AC+AD＝3AB+3AB＝6AB．

9. 【答案】60；

【解析】由已知得：∠2＝2∠1＝60°. 10．【答案】180°；

【解析】由已知可得：AD∥BC，由平行的性质可得：∠D+∠C＝180°. 11.【答案】90°； 12.【答案】85°；

【解析】如图，过∠α的顶点作AB的平行线EF，

∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，

∴∠1=180°﹣∠B=180°﹣120°=60°，∠2=∠C=25°， ∴∠α=∠1+∠2=60°+25°=85°．故答案为：85°． 三、解答题 13.【解析】

证明：∵AB∥CD(已知)，∴ ∠BMN＝∠MNC(两直线平行，内错角相等)． ∵MG、NH分别平分∠BMN、∠CNM(已知)． ∴∠MNH＝

11∠MNC，∠NMG＝∠BMN(角平分线定义)． 22 ∴∠MNH＝∠NMG，∴ NH∥MG(内错角相等，两直线平行)．

14.【解析】

解：∵a∥b∥c，

∴∠BAQ＝∠1＝60°，∠CAQ＝∠2＝36°，∠BAC＝60°+36°＝96°， 又AP平分∠BAC，∠BAP＝

1×96°＝48°， 2 ∴∠PAQ＝∠BAQ-∠BAP＝60°-48°＝12°． 15.【解析】

解：如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD． 理由如下： 过点P作PE∥l1， ∵l1∥l2， ∴PE∥l2∥l1，

∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，

∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB． 理由如下： ∵l1∥l2，

∴∠PEC=∠PBD，

∵∠PEC=∠PAC+∠APB， ∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

如图③，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB． 理由如下： ∵l1∥l2，

∴∠PED=∠PAC，

∵∠PED=∠PBD+∠APB， ∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

《相交线与平行线》全章复习与巩固（基础）知识讲解

【学习目标】

1． 熟练掌握对顶角，余角，补角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两

平行线间的距离的概念；

2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；

3. 了解尺规作图的概念，熟练掌握用尺规作角或线段的方法. 【知识网络】

北师大版七年级下册数学

【要点梳理】

要点一、两条直线的位置关系

1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行

要点诠释：

（1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点. （2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示.

2.对顶角、补角、余角 （1）定义：

①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.

②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．

（2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等． 3.垂线

（1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．

（2）垂线的性质：

①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短．

（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 要点二、平行线的判定与性质 1．平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．

要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离

如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.

要点诠释：

（1）两条平行线之间的距离处处相等.

（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.

（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 要点三、用尺规作线段和角 1.用尺规作线段

（1）用尺规作一条线段等于已知线段. （2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数. （3）用尺规作一条线段等于已知线段的和. （4）用尺规作一条线段等于已知线段的差. 2.用尺规作角

（1）用尺规作一个角等于已知角. （2）用尺规作一个角等于已知角的倍数. （3）用尺规作一个角等于已知角的和. （4）用尺规作一个角等于已知角的差. 【典型例题】

类型一、两条直线的位置关系

1.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，那么互为对顶角（平角除外）的角共有 对，它们分别是 ，共有 对邻补角.

【思路点拨】根据邻补角定义和对顶角定义，每一个顶点处有四个角，可以组成四对邻补角和两对对顶角，而本题图形中，三个顶点重叠在一起，所以

再乘以3即可．

【答案】6,∠AOC与∠BOD，∠AOF与∠BOE，∠COF与∠DOE, ∠BOC与∠AOD，∠BOF与∠AOE, ∠DOF与∠COE ,12．

【解析】找对顶角或邻补角，先从某一个角开始，顺时针或逆时针旋转，这样做，既不漏也不重.

【总结升华】两条直线相交得到的四个角中，共有2对对顶角，4对邻补角. 举一反三：

【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.

【答案】

解： 因为∠BOC＋∠AOC=180º（平角定义）, 所以∠AOC是∠BOC的补角.

因为∠AOD＋∠BOD=180º（平角定义）, ∠AOD=∠BOC（已知）, 所以∠BOC＋∠BOD=180º.

所以∠BOD是∠BOC的补角．

所以∠BOC的补角有两个：∠BOD和∠AOC.

而∠BOC的邻补角只有一个∠AOC，且∠BOC没有对顶角.

2.已知：如图，直线a、b、c两两相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度数.

【答案与解析】

解：∵a⊥b, ∴∠2＝∠1＝90°.

又∵∠1＝2∠3，∴90°＝2∠3，∴∠3＝45°,

又∠3与∠4互为邻补角，

所以∠3+∠4＝180°即45°+∠4＝180°. 所以∠4＝135°.

【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等）是解题的关键．

类型二、平行线的性质与判定

3.如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，将求∠AGD的过程填写完整： 因为EF∥AD，所以∠2= （ ） 又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3

所以AB∥ （ ）

所以∠BAC＋ =180°（ ）

因为∠BAC=70°，所以∠AGD= .

【答案】∠3，两直线平行，同位角相等；DG，内错角相等，两直线平行；∠AGD，两直线平行，同旁内角互补；110°.

【解析】首先由已知EF∥AD根据两直线平行同位角相等可得∠2=∠3，再由∠1=∠2，利用等量代换可得∠1=∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥DG，再根据两直线平行同旁内角互补可得∠BAC+∠AGD=180°，进而得到答案． 【总结升华】本题主要考查的是平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．此外注意证明题规范的书写格式. 举一反三：

【变式】如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.

【答案】

解：平行，理由如下：

因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行）， 所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）. 又因为∠1=∠2（已知）， 所以∠BCD=∠2.

所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.

4.（2015春•杭州期末）如图，已知BC∥GE，AF∥DE，∠1=50°． （1）求∠AFG的度数；

（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q=15°，求∠ACB的度数．

【答案与解析】解：（1）∵BC∥EG， ∴∠E=∠1=50°． ∵AF∥DE，

∴∠AFG=∠E=50°； （2）作AM∥BC， ∵BC∥EG， ∴AM∥EG，

∴∠AFM=∠AFG=50°． ∵AM∥BC，

∴∠QAM=∠Q=15°，

∴∠FA Q=∠AFM+∠FAQ=65°． ∵AQ平分∠FAC，

∴∠QAC=∠FA Q=65°，

∴∠M AC=∠QAC+∠QAM=80°． ∵AM∥BC，

∴∠ACB=∠MAC=80°．

【总结升华】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

类型三、用尺规作线段和角

5. 在如图中，补充作图：

（1）在AD的右侧作∠DCP=∠DAB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）CP与AB会平行吗？为什么？

【思路点拨】

（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作出； （2）根据平行线的判定方法即可判断． 【答案与解析】 解：（1）作图如下：

（2）会平行．用同位角相等，两直线平行．

【总结升华】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角，以及平行线的判定定理，正确掌握基本作图是关键．

举一反三： 【变式】（2014秋•娄底期中）尺规作图的画图工具是（ ） A．刻度尺、量角器 B．三角板、量角器

C．直尺、量角器 D．没有刻度的直尺和圆规 【答案】D

提示：尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规．

类型四、实际应用

6.如图，107国道a上有一个出口M，想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？

【答案与解析】

解：如图，过点M作MN⊥b，垂足为N，欲使通道最短，

应沿线路MN施工.

【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.

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知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1．下列图中,∠1和∠2是对顶角的有( )个.

北师大版七年级下册数学

《相交线与平行线》全章复习与巩固（基础）巩固练习

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示是同位角关系的是( )．

A．∠3和∠4 B．∠1和∠4 C．∠2和∠4 D．不存在 3．下列说法正确的是( )． A．相等的角是对顶角.

B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等.

C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. D．若两个角的和为180°，则这两个角互为余角. 4．（2015•宜昌）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）

A．60° B．50° C．40° D．30°

5．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）．

A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线

C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线 6．一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于( )．

A．75° B．105° C．45° D．135° 7．下列说法中，正确的是( )． A．过点P画线段AB的垂线.

B．P是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，连接PQ，使PQ⊥AB. C．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. D．过一点有且只有一条直线平行于已知直线.

8．如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是( ) ． A. 50° B. 60° C.70° D.80°

二、填空题 9. 如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________．

10．如图所示，已知BC∥DE，则∠ACB＋∠AOE＝ ．

11．每天小明上学时，需要先由家向东走150米到公共汽车站点，然后再乘车向西900米到学校，每天小明由家到学校移动的方向是________，移动的距离是________． 12. (广东湛江)如图所示，请写出能判断CE∥AB的一个条件，这个条件是：

①：________ ②：________ ③：________

13．如图，已知AB∥CD，CE，AE分别平分∠ACD，∠CAB，则∠1+∠2=________.

14．如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥AB，∠EOD＝25°，则

∠BOD= ，∠AOC＝ ，∠BOC＝ ．

15. 如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西 ．

北 16．（2015秋•丰台区期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 乙 北 甲 小聪、小明、小敏三位同学在黑板上分别画出了设计方案：

根据以上信息，你认为 同学的方案最节省材料，理由是 ． 三、解答题

17．如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，若∠1+∠2＝90°，∠3＝40°，求∠1的度数，并说明理由．

18．（2015春•监利县期末）如图，已知∠ABC=180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F． （1）求证：AD∥BC；

（2）若∠1=36°，求∠2的度数．

19. 如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a∥b，b∥c，d∥e，a∥c．

20．如图所示，点P是∠ABC内一点．

(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F． (2)∠EPF等于∠B吗? 为什么? 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】A；

【解析】只有第三个图中的∠1与∠2是对顶角. 2. 【答案】B；

【解析】同位角的特征：在截线同旁，在两条被截直线同一方向上． 3. 【答案】C；

【解析】一个角的平分线分得两个角相等，但不是对顶角，A错误；内错角相等的前提

必须是两条直线平行，B错误；若两个角的和为180°，这两个角互为补角，D错误；C是平行公理的推论，正确． 4. 【答案】C；

【解析】∵FE⊥DB，

∴∠DEF=90°． ∵∠1=50°，

∴∠D=90°﹣50°=40°． ∵AB∥CD，

∴∠2=∠D=40°．故选C．

5. 【答案】C；

【解析】根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选C． 6. 【答案】C；

【解析】根据直线平行，内错角相等，从A点北偏东60°方向等于从B点南偏西60°，

再从B点向南偏西15°方向到C点，∠ABC应等于这两个角的差，故C正确． 7.【答案】C；

【解析】应是过一点画线段所在直线的垂线，不能是画线段的垂线，故A错误；P是直

线AB外一点，Q是直线AB上一点，如果P点不在过Q点与AB垂直的直线上，或Q点不在过P点与AB垂直的直线上，连接PQ，不可能有PQ⊥AB，故B错误；过一点画直线的平行线，这点不能在直线上，否则是同一条直线，故D错误；只有C是垂线的性质，故C正确． 8.【答案】A；

【解析】平行线的判定与性质综合应用．

二、填空题

9. 【答案】50°； 【解析】因为AB∥CD，所以∠1＝∠AGF，因为∠AGF与∠EGB是对顶角，所以∠EGB

＝∠AGF，故∠EGB＝50°． 10.【答案】180°；

【解析】由BC∥DE可知∠ACB＝∠EOC，又因为∠AOE+∠EOC＝180°，故可得解． 11.【答案】向西，750米 ；

【解析】移动的方向是起点到终点的方向，移动的距离是起点到终点的线段的长度. 12．【答案】∠DCE＝∠A，∠ECB＝∠B，∠A+∠ACE＝180°；

【解析】根据平行线的判定，CE∥AB成立的条件可以是∠DCE＝∠A或∠ECB＝∠B

或∠A+∠ACE＝180°． 13.【答案】90°；

【解析】∠BAC+∠ACD＝180°，∠BAC+ ∠ACD＝90°，即∠1+∠2＝90°. 14.【答案】115°，115°，65°；

【解析】邻补角或对顶角的性质进行求解. 15.【答案】48°；

【解析】内错角相等，两直线平行.

16.【答案】小聪；两点之间线段最短；点到直线垂线段最短； 【解析】小明与小聪的方案比较： 在小明的方案中∵AD+BD＞AB， ∴小聪的方案比小明的节省材料； 小聪与小敏的方案比较：

小聪方案中AC＜小敏的方案中AC ∴小聪同学的方案最节省材料，

理由：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短． 三、解答题 17.【解析】

解：因为∠2＝∠3(对顶角相等)，∠3＝40°(已知)，

所以∠2＝40°(等量代换)．又因为∠1+∠2＝90°(已知)， 所以∠1＝90°-∠2＝50°． 18.【解析】

（1）证明：∵∠ABC=180°﹣∠A， ∴∠ABC+∠A=180°， ∴AD∥BC；

（2）解：∵AD∥BC，∠1=36°， ∴∠3=∠1=36°，

∵BD⊥CD，EF⊥CD， ∴BD∥EF，

∴∠2=∠3=36°． 19.【解析】

解：因为∠1＝50°，∠2＝130°(已知)， 所以∠1+∠2＝180°．

所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．

所以∠3＝∠1＝50°(两直线平行，同位角相等)．

1212 又因为∠4＝50°(已知)， 所以∠3＝∠4(等量代换)．

所以d∥e(同位角相等，两直线平行)．

因为∠5+∠6＝180°(平角定义)，∠6＝130°(已知)， 所以∠5＝50°(等式的性质)． 所以∠4＝∠5(等量代换)．

所以b∥c(内错角相等，两直线平行)． 因为a∥b，b∥c(已知)，

所以a∥c(平行于同一直线的两直线平行)． 20.【解析】

解：如图所示，(1)①直线PD即为所求；②直线PE、PF即为所求．

(2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位角相

等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF＝∠B(等量代换)．

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

三角形及其性质（基础）知识讲解

【学习目标】

1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法． 2. 理解三角形内角和定理的证明方法； 3. 掌握并会把三角形按边和角分类

4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系．

5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．

【要点梳理】

要点一、三角形的定义

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

北师大版七年级下册数学

要点诠释：

（1）三角形的基本元素：

①三角形的边：即组成三角形的线段；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．

要点二、三角形的内角和

三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．

要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 1.按角分类：

直角三角形三角形　锐角三角形 斜三角形　钝角三角形要点诠释：

①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：

不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形　等边三角形要点诠释：

①不等边三角形：三边都不相等的三角形；

②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点四、三角形的三边关系

定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释：

（1）理论依据：两点之间线段最短.

（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

（3）证明线段之间的不等关系．

要点五、三角形的三条重要线段

三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从

不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 文字语言 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形的中线 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 标示图形 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 1．AD是△ABC的中线． 1．AD是△ABC的角平分2．AD是△ABC中BC线． 边上的中线． 2．AD平分∠BAC，交BC1于点D． 3．BD＝DC＝BC 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 符号语言 24．点D是BC边的中点． 3．∠1＝∠2＝因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝1∠BAC． 2因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝推理语言 用途举例 注意事项 重要特征 1BC． 21．线段相等． 2．面积相等． — 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 1∠BAC． 2角度相等． 与角的平分线不同． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．

【典型例题】

类型一、三角形的内角和

1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】

解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.

证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=

∠2（两直线平行，同位角相等）．

又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．

证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．

因为DF∥AC（已作），

所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）． 因为DE∥AB（已作）．

所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）． 所以∠A=∠2（等量代换）．

又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义）， 所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．

2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数． 【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数． 【答案与解析】

解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°， 知∠C＝100°． 又∵ ∠C＝2∠B， ∴ ∠B＝50°．

∴ ∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．

【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．

举一反三：

【变式】已知，如图 ，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.

【答案】

解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A 设∠A=x

则∠C=∠ABC=2x x+2x+2x=180°

解得：x=36° ∴∠C=2x=72°

在△BDC中， BD是AC边上的高， ∴∠BDC=90°

∴∠DBC=180°－90°-72°=18° 类型二、三角形的分类

3.一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（ ） A 锐角三角形 B 等腰三角形 C 等腰锐角三角形 【答案】C 举一反三

【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（ ）三角形

A 锐角 B 直角 C 钝角 D无法判断 【答案】C

【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形. 类型三、三角形的三边关系

4. (四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )

【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值． 【答案】D

【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．

【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能构成三角形，不大于则不能构成三角形．

举一反三：

【变式】判（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（ ）

A．11 B．5 C．2 D．1 【答案】B．

解：根据三角形的三边关系， 6﹣4＜AC＜6+4， 即2＜AC＜10， 符合条件的只有5， 故选：B．

5.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______. 【答案】5c9

【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c的取值范围是│2-7│【总结升华】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│举一反三：

【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)

【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对． 类型四、三角形中重要线段

6. （2016春•江苏月考）在△ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（ ）

A． B．

C． D． 【答案】C；

【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部． 举一反三：

【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．

【答案】

解：所画三角形的高如图所示．

7.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．

【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比 △ACD的周长大3．

【答案与解析】

解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3． 又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，

∴ AD＝BD，即BC-AC＝3． 又∵ BC＝8，∴ AC＝5． 答：AC的长为5cm．

【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD＝BD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．

举一反三：

【变式】如图所示，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且S△ABC4，则S阴影为________．

【答案】1

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1．一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是( )

北师大版七年级下册数学

2．如图所示的图形中，三角形的个数共有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）

A． B． C． D．

4．已知三角形两边长分别为4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是 ( )

A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm

5．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( )

A．5m B．15m C．20m D．28m

6．三角形的角平分线、中线和高都是 ( )

A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对 7．下列说法不正确的是 ( )

A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部 C．三角形的高在三角形的内部 D．三角形必有一高线在三角形的内部

8．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是( )

A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．以上三种情况都有可能

9．若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为( ) A．40° B．80° C．60° D．120° 二、填空题

10．（2015•东莞）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是 ．

11．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________cm．

12. 已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为________． 13. 如图，AD是△ABC的角平分线，则∠______＝∠______＝的中线，则________＝_______＝＝90°，CF________AB．

1∠_______；BE是△ABC21________；CF是△ABC的高，则∠________＝∠________2

14. 如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．

15.在△ABC中，(1)若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝_______，∠B＝_______，∠C＝_______，此三角形为_______三角形；

(2) 若∠A大于∠B+∠C，则此三角形为________三角形． 三、解答题

16．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形? (1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)； (2)a+1，a+2，a+3；

(3)三条线段之比为2:3:5．

17．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，AG⊥BC，AD与BE相交于点F，试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线，BE、DE分别是哪两个三角形的中线？AG是哪些三角形的高?

18. （2016春•江苏月考）如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的内角平分线，BE、AD相交于点F，已知∠BAD=40°，求∠BFD的度数．

19.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?

【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】D； 2. 【答案】C；

【解析】三个三角形：△ABC, △ACD, △ABD． 3. 【答案】A. 4. 【答案】B；

【解析】根据三角形的三边关系进行判定． 5. 【答案】D；

【解析】由三角形三边关系定理可知．只有C选项中3+4＞5．故选C (2)画图分析，不难判断出选C．(3)因为第三边满足：|另两边之差|＜第三边＜另两边之和，故16-12＜AB＜16+12 即4＜AB＜28故选D． 6.【答案】B； 7.【答案】C；

【解析】三角形的三条高线的交点与三条角平分线的交点一定都在三角形内部，但三角形的三条高线的交点不确定：当三角形为锐角三角形时，则交点一定在三角形的内部；当三角形为钝角三角形时，交点一定在三角形的外部． 8.【答案】C；

【解析】两个三角形等底同高，面积相等 9．【答案】B；

【解析】根据三角形内角和180°，以及已知条件可以计算得出∠B的度数为120° 二、填空题 10.【答案】4.

【解析】∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G， ∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF， ∵S△ACF=S△BCF=

S△ABC=

×12=6，

∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2， ∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4． 故答案为4．

11.【答案】5 cm或7 cm； 12.【答案】15cm或18cm；

【解析】按腰的不同取值分类讨论． 13．【答案】BAD CAD BAC；AE CE AC；AFC BFC ⊥ 14．【答案】15cm2，30cm2；

【解析】△ABC的面积是△ABE面积的2倍 ． 15.【答案】（1）30°，60°，90°；直角（2）钝角 三、解答题 16.【解析】

解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形；

(2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形．

(3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形． 17.【解析】

解：AD、AF分别是△ABC，△ABE的角平分线．BE、DE分别是△ABC，△ADC的中线，

AG是△ABC，△ABD，△ACD，△ABG，△ACG，△ADG的高． 18.【解析】

解：∵AD⊥BC，∠BAD=40°， ∴∠ABD=90°﹣40°=50°． ∵BE是△ABC的内角平分线， ∴∠ABF=∠ABD=25°，

∴∠BFD=∠BAD+∠ABF=40°+25°=65°． 19.【解析】 解：如图

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

全等三角形的概念和性质（基础）

【学习目标】

1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素.

2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.

【要点梳理】 要点一、全等形

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.

北师大版七年级下册数学

要点二、全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义

两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.

要点诠释：

在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.

2. 找对应边、对应角的方法

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 要点四、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等.

要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.

【典型例题】

类型一、全等形和全等三角形的概念

1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（ ）

A． B．

C．

D．

【答案】A

【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.

【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等. 举一反三： 【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（ ） A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.两个等边三角形

C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形 D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形 【答案】D；

解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；

B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误； C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误； D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．

类型二、全等三角形的对应边，对应角

2、（2016•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（ ）

A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB

【思路点拨】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项 【答案与解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点， ∴∠DCE=∠B，故选A．

【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角. 举一反三：

【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.

【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B

和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.

类型三、全等三角形性质

3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△

EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.

解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，

∴∠ECB＝________°.

∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD， ∴△________≌△_________.

∴∠ADB＝∠________＝________°.

【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.

【答案】55；ABD，EBC；ECB，55

【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等. 【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.

4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．

【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE，都减去∠ACE即可．

【答案与解析】

解：AB的对应边为DE，

∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB=∠DCE，

∴∠ACB—∠ACE=∠DCE—∠ACE， 即∠BCE=∠DCA=40°．

【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 举一反三：

【变式】如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B位置，A点落在A位置，若ACAB，则BAC的度数是____________.

【答案】70°；

提示：BAC＝∠BAC＝90°－20°＝70°.

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1. （2016•长沙模拟） 如图所示，△ABC≌△DEC，则不能得到的结论是（ ）

A. AB＝DE B. ∠A＝∠D C. BC＝CD D. ∠ACD＝∠BCE

北师大版七年级下册数学

2. 如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB＝6cm，AC＝4cm，BC＝5cm，则AD的长为（ ）

A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 以上都不对

3. 下列说法中正确的有（ ）

①形状相同的两个图形是全等图形 ②对应角相等的两个三角形是全等三角形 ③全等三角形的面积相等 ④若△ABC≌△DEF，△DEF ≌△MNP，△ABC≌△MNP. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

4. （2014秋•庆阳期末）如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB=90°，∠A′CB=20°，则∠BCB′的度数为（ ）

A.20° B.40° C.70° D.90°

5. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（ ）

A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm

6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（ ）

A．60° B．75° C．90° D．95°

二、填空题

7.（2014秋•安阳县校级期末）如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，则∠D的对应角是___________，图中相等的线段有____________________________．

8. （2016•成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=___________.

9. 已知△DEF≌△ABC，AB＝AC，且△ABC的周长为23cm，BC＝4cm，则△DEF的边中必有一条边等于______. 10. 如图，如果将△ABC向右平移CF的长度，则与△DEF重合，那么图中相等的线段有

__________；若∠A＝46°，则∠D＝________.

11.已知△ABC≌△A'B'C'，若△ABC的面积为10 cm，则△A'B'C'的面积为________

2

cm2，若△A'B'C'的周长为16cm，则△ABC的周长为________cm．

12. △ABC中，∠A∶∠C∶∠B＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝______ . 三、解答题

13.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2，求∠DFE的度数与EC的

长.

14. （2014秋•射阳县校级月考）如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中A和D、B

和E是对应点．

（1）用符号“≌“表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）； （2）写出图中相等的线段和相等的角；

（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．

15. 如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD.判断AE与DE的关系，并证明你的结论.

【答案与解析】 一.选择题

1. 【答案】C；

【解析】因为△ABC≌△DEC，可得：AB=DE，∠A=∠D，BC=EC，∠ACD=∠BCE，

故选C．

2. 【答案】B；

【解析】AD与BC是对应边，全等三角形对应边相等. 3. 【答案】C；

【解析】③和④是正确的； 4. 【答案】C；

【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，

∴∠ACB=∠A′CB′，

∴∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB=70°． 故选C．

5. 【答案】A；

【解析】EF边上的高＝

1826； 66. 【答案】C；

【解析】折叠所成的两个三角形全等，找到对应角可解. 二.填空题

7. 【答案】∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD；

【解析】解：∵△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，

∴∠D=∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD， 故答案为：∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD．

8. 【答案】120°；

【解析】∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°．

9. 【答案】4cm或9.5cm；

【解析】DE＝DF＝9.5cm，EF＝4cm；

10.【答案】AB＝DE、AC＝DF、BC＝EF、BE＝CF， 46°； 11.【答案】10，16；

【解析】全等三角形面积相等，周长相等； 12.【答案】40°；

【解析】见“比例”设k，用三角形内角和为180°求解. 三.解答题 13.【解析】

解： 在△ABC中，

∠ACB＝180°－∠A－∠B， 又∠A＝30°，∠B＝50°， 所以∠ACB＝100°.

又因为△ABC≌△DEF，

所以∠ACB＝∠DFE，BC＝EF（全等三角形对应角相等，对应边相等） 所以∠DFE＝100°

EC＝EF－FC＝BC－FC＝BF＝2. 14. 【解析】 解：（1）△ABC≌△DEF；

（2）AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE； （3）BC∥EF，AB∥DE，

理由是：

∵△ABC≌△DEF，

∴∠A=∠D，∠ACB=∠DFE， ∴AB∥DE，BC∥EF．

15. 【解析】 AE＝DE ,且AE⊥DE 证明： ∵△ABE≌△ECD，

∴∠B＝∠C，∠A＝∠DEC，∠AEB＝∠D，AE＝DE 又∵AB⊥BC

∴∠A＋∠AEB＝90°，即∠DEC＋∠AEB＝90° ∴AE⊥DE

∴AE与DE垂直且相等.

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

全等三角形判定一（SSS,ASA，AAS）（基础）

【学习目标】

1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．

2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 【要点梳理】

要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边”

北师大版七年级下册数学

三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

要点诠释：如图，如果A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC，则△ABC≌△A'B'C'.

要点二、全等三角形判定2——“角边角” 全等三角形判定2——“角边角”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠A'，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，则△ABC≌△A'B'C'.

要点三、全等三角形判定3——“角角边” 1.全等三角形判定3——“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

要点四、如何选择三角形证全等

1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等

的三角形中，可以证这两个三角形全等；

2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； 4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【典型例题】

类型一、全等三角形的判定1——“边边边”

1、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．

求证：RM平分∠PRQ．

【思路点拨】由中点的定义得PM＝QM，RM为公共边，则可由SSS定理证明全等. 【答案与解析】

证明：∵M为PQ的中点（已知）， ∴PM＝QM

在△RPM和△RQM中，

RPRQ(已知), PMQM,RMRM公共边∴△RPM≌△RQM（SSS）．

∴ ∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）． 即RM平分∠PRQ.

【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定. 举一反三： 【变式】（2015•武汉模拟）如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，求证：△ABC≌△DCB．

【答案】

证明：在△ABC和△DCB中，

，

∴△ABC≌△DCB（SSS）．

类型二、全等三角形的判定2——“角边角”

2、（2016•安徽模拟）如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是．

（1）小明添加的条件是：AP=BP．你认同吗？

（2）你添加的条件是 ，请用你添加的条件完成证明．

【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定进行解答即可；（2）添加∠APO=∠BPO，利用ASA判断得出△AOP≌△BOP． 【答案】 （1）不认同；（2）∠APO=∠BPO． 【解析】

解：（1）不认同，按小明添加的条件，就是用“边边角”证明全等，而“边边角”是不能说

明三角形全等的；

（2）∠APO=∠BPO．

理由：∵点P在∠AOB的平分线上， ∴∠AOP=∠BOP， 在△AOP和△BOP中

，

∴△AOP≌△BOP（ASA）. 故答案为：∠APO=∠BPO．

【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件. 举一反三：

【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.

【答案】

证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.

∵AF∥DE，，∴∠AFB＝∠DEC.

又∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE. 在△ABF和△DCE中，

BC BFCEAFBDEC∴△ABF≌△DCE（ASA）

∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）. 类型三、全等三角形的判定3——“角角边”

3、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．

求证：AD＝AC．

【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD. 【答案与解析】

证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC， ∴∠CAD＝∠BAE＝90°

∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD 在△BAC和△EAD中

BACEAD BE

CB=DE  ∴△BAC≌△EAD（AAS） ∴AC ＝AD 【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 举一反三：

【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.

求证：BE＝CF.

【答案】

证明：∵AD为△ABC的中线

∴BD＝CD

∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， 在△BED和△CFD中

BEDCFD（对顶角相等） BDECDFBDCD∴△BED≌△CFD（AAS） ∴BE＝CF

4、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC． （1）求证：AC与BD互相平分；

（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，

求证：OE＝OF.

【思路点拨】（1）证△ABO≌△CDO，得AO＝OC，BO＝DO（2）证△AEO≌△CFO或△BEO≌△DFO 【答案与解析】 证明：∵AB∥DC ∴∠Ａ＝∠Ｃ

在△ABO与△CDO中

A＝C AOB＝COD(对顶角相等）

AB=CD∴△ABO≌△CDO（AAS） ∴AO＝CO ，BO=DO 在△AEO和△CFO中

A＝C AO=COAOE＝COF(对顶角相等）∴△AEO≌△CFO（ASA） ∴OE＝OF.

【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.

类型四、全等三角形判定的实际应用

5、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡

与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.

【答案与解析】

设战士的身高为AB，点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD＝∠BAC，∠ABD＝∠ABC＝90°.

在△ABD和△ABC中，

ABDABC ABABBADBAC∴△ABD≌△ABC（ASA） ∴BD＝BC.

这名战士的方法有道理.

【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】 一、选择题

1. 能确定△ABC≌△DEF的条件是 （ ） A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E 2．（2015•杭州模拟）用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（ ）

北师大版七年级下册数学

A． SSS B． SAS C． ASA D． AAS

3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（ ） A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF 4．（2016•黔西南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）

A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC

5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么

最省事的方法是( )

A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.①②③都带去

6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（ ） A．△ADC≌△BCD

C．△ABO≌△CDO

B．△ABD≌△BAC D．△AOD≌△BOC

二、填空题

7.（2014秋•石林县校级月考）如图，AC=AD，BC=BD，则△ABC≌△ ；应用的判定方法是（简写） ．

8. 在△ABC和△A'B'C'中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠C'＝69°，∠B'＝44°，且AC＝ B'C'，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）

9. 已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.

10. 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.

11.（2016•通州区一模）在学习“用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB”时，教科书介绍如下：*作法：（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于D，交OB于E； （2）分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点C； （3）作射线OC．

则OC就是所求作的射线．

小明同学想知道为什么这样做，所得到射线OC就是∠AOB的平分线．

小华的思路是连接DC、EC，可证△ODC≌△OEC，就能得到∠AOC=∠BOC．其中证明△ODC≌△OEC的理由是 ．

12. 已知:如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF， （1）若以“ASA”为依据，还缺条件 （2）若以“AAS”为依据，还缺条件

三、解答题

13．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝

∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．

答：△AOD≌△COB．

证明：在△AOD和△COB中，

AC(已知), OAOB(已知),

AODCOB(对顶角相等),∴ △AOD≌△COB （ASA）．

问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？

14. 已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与BD互相平分.

15. （2014秋•越秀区校级期中）已知：如图, AB∥CD, OA ＝ OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且∠E＝∠F. 求证：EB=CF.

【答案与解析】 一.选择题

1. 【答案】D；

【解析】A、B选项是SSA，没有这种判定，C选项字母不对应. 2. 【答案】A； 【解析】从角平分线的作法得出，△AFD与△AED的三边全部相等，则△AFD≌△AED． 3. 【答案】C；

【解析】可由AAS证全等，得到A、B、D三个选项是正确的. 4. 【答案】C；

【解析】解：解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；

选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；

选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确； 选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误． 故选C．

5. 【答案】C；

【解析】由ASA定理，可以确定△ABC. 6. 【答案】C；

【解析】△ABO与△CDO中，只能找出三对角相等，不能判定全等. 二、填空题

7. 【答案】ABD；SSS. 8. 【答案】一定；

【解析】由题意，△ABC≌△B'A'C'，注意对应角和对应边. 9. 【答案】6；

【解析】△ABF≌△CDE，BE＝CF＝2，EF＝10－2－2＝6. 10.【答案】5；

【解析】△ABO≌△CDO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB. 11.【答案】SSS；

【解析】解：由作法可知：CD=CE，OD=OE，

又∵OC=OC，

∴根据SSS可推出△OCD和△OCE全等， 故答案为：SSS.

12.【答案】（1）∠A＝∠D；（2）∠ACB＝∠F； 三、解答题 13. 【解析】

解： 这位同学的回答及证明过程不正确.

因为∠D所对的是AO，∠C所对的是OB，证明中用到了OA＝OB，这不是一组对应边，所以不能由ASA去证明全等. 14.【解析】

证明： ∵BF＝DE，

∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF

在△ABE和△CDF中，

AB＝CDBE＝DF, AE＝CF ∴△ABE≌△CDF（SSS） ∴∠B＝∠D，

在△ABO和△CDO中

BD AOBCOD ABCD ∴△ABO≌△CDO（AAS）

∴AO＝OC，BO＝DO，AC与BD互相平分. 15.【解析】 证明：∵AB∥CD, ∴∠CDO＝∠BAO 在△OAB和△ODC中，

CDOBAO ODOA

DOCAOB ∴△OAB≌△ODC（ASA） ∴OC＝OB

在△OCF和△OBE中

FOCEOB FE

OCOB ∴△OCF≌△OBE（AAS） ∴EB=CF

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知识点梳理及重点题型巩固练习

全等三角形判定二（SAS）（基础）

北师大版七年级下册数学

【学习目标】

1．理解和掌握全等三角形判定方法4——“边角边”；

2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.

3. 探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 【要点梳理】

要点一、全等三角形判定4——“边角边” 1. 全等三角形判定4——“边角边”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点诠释：如图，如果AB ＝ A'B'，∠A＝∠A'，AC ＝ A'C'，则△ABC≌△A'B'C'. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.

2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

要点二、判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 一边一角对应相等 两角对应相等 两边对应相等 可选择的判定方法 SAS AAS ASA ASA AAS SAS SSS 要点三、如何选择三角形证全等 1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； 4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 要点四、全等三角形证明方法

全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、

相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法：

(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.

(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质.

2． 证明角相等的方法：

(1) 利用平行线的性质进行证明.

(2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等.

3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；

可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加:

(1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法；

(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法:

（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发

现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.

（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据

图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.

（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之

出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.

【典型例题】

类型一、全等三角形的判定4——“边角边”

1、（2016•云南模拟）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：△EBC≌△FCB．

【思路点拨】首先根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，再根据等式的性质可得BE=CF，然后再利用SAS判定△EBC≌△FCB． 【答案与解析】 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵AE=AF，

∴AB﹣AE=AC﹣AF 即BE=CF，

在△EBC和△FCB中，

，

∴△EBC≌△FCB（SAS）．

【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线，AB＝CB，

EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．

【答案】AE＝CD，并且AE⊥CD 证明：延长AE交CD于F，

∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形 ∴AB＝BC，BD＝BE 在△ABE和△CBD中

ABBC ABECBD90

BEBD ∴△ABE≌△CBD（SAS） ∴AE＝CD，∠1＝∠2

又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等） ∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90° ∴AE⊥CD

【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等. 举一反三： 【变式】（2014•雁塔区校级模拟）如图，由∠1=∠2，BC=DC、AC=EC，最后推出△ABC≌△EDC的根据是（ ）

A．SAS B． ASA C． AAS D． SSS 【答案】A． 解：∵∠1=∠2

∴∠ACD+∠2=∠ACD+∠1，即∠ACB=∠ECD

又∵BC=DC，AC=EC

∴△ABC≌△EDC（SAS）

类型二、全等三角形的性质和判定综合

3、（2014•如东县模拟）如图1，已知△ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC全等的图形是（ ）

A.甲乙 B． 丙 C． 乙丙 D． 乙

【思路点拨】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）逐个判断即可． 【答案】C． 【解析】

解：已知图1的△ABC中，∠B=50°，BC=a，AB=c，AC=b，∠C=58°，∠A=72°， 图2中，甲：只有一个角和∠B相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和△ABC不全等；

乙：符合SAS定理，能推出两三角形全等； 丙：符合AAS定理，能推出两三角形全等；

【总结升华】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 举一反三：

【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.

【答案】

证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC， ∴∠EAB＝∠DAC＝90°

∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC. 在△DAB与△EAC中，

DABEAC ABAC

BC ∴△DAB≌△EAC （ASA） ∴BD＝CE.

类型三、全等三角形判定的实际应用

4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．

【答案与解析】

证明：在△DEH和△DFH中，

DE＝DF EH＝FH

DHDH ∴△DEH≌△DFH(SSS) ∴∠DEH＝∠DFH．

【总结升华】证明△DEH≌△DFH，就可以得到∠DEH＝∠DFH，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS”定理就能解决问题. 举一反三：

【变式】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，在边

OA，边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，你能先说明△OPE与△OPD全等，再说明OP平分∠AOB吗？

【答案】

证明： 在△OPE与△OPD中

OEOD∵ OPOPPEPD

∴ △OPE≌△OPD （SSS） ∴ ∠EOP＝∠DOP ∴ OP平分∠AOB.

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知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】 一、选择题

1．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（ ）

A. ∠A B. ∠B C. ∠C D. ∠B或∠C 2.（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）

A．AB=CD B． EC=BF C． ∠A=∠D D． AB=BC 3．（2016•东城区一模）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（ ）

A．29米 B．58米 C．60米 D．116米

4．如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（ ）

A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对

5．如图，将两根钢条AA'，BB'的中点O连在一起，使AA'，BB'可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是( )

A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边 6．如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（ ） A.EC⊥AC B.EC＝AC C.ED ＋AB ＝DB D.DC ＝CB

二、填空题

7．如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.

8．（2016春•灵石县期末）如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第 块去配，其依据是根据定理 （可以用字母简写）

9.（2015•齐齐哈尔）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可）

10．如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.

11．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，

若∠B ＝20°，则∠C＝_______．

12．已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌ ，△ADC≌ .

三、解答题

13.（2015•重庆校级三模）如图已知，AB∥DC，AB=DC，AE=CF．求证：△ABF≌△CDE．

14.（2016•曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D． （1）求证：AC∥DE；

（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．

15．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.

【答案与解析】 一.选择题

1．【答案】A；

【解析】如果选B或者C的话，三角形内角和就会超过180°. 2. 【答案】A 3．【答案】B；

【解析】解：在△ABC和△DEC中，

，

△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB=DE=58米， 故选：B．

4．【答案】C；

【解析】△DOF≌△COE，△BOF≌△AOE，△DOB≌△COA. 5．【答案】A；

【解析】将两根钢条AA'，BB'的中点O连在一起，说明OA＝OA'，OB＝OB'，再

由对顶角相等可证.

6．【答案】D；

【解析】△ABC≌△EDC，∠ECD＋∠ACB＝∠CAB＋∠ACB＝90°，所以EC⊥AC，

ED ＋AB ＝BC＋CD＝DB.

二.填空题

7．【答案】66°；

【解析】可由SSS证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝

8241， 所以∠DCB＝ 2∠ABC＝25°＋41°＝66°

8．【答案】③，ASA； 【解析】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，

故应带第③块．

故答案为：③； ASA．

9. 【答案】BC=EF或∠BAC=∠EDF 10.【答案】56°；

【解析】∠CBE＝26°＋30°＝56°. 11.【答案】20°；

【解析】△ABE≌△ACD（SAS） 12.【答案】△DCB，△DAB；

【解析】注意对应顶点写在相应的位置上. 三.解答题 13.【解析】

证明：∵AB∥DC， ∴∠C=∠A， ∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF， 在△ABF和△CDE中，

，

∴△ABF≌△CDE（SAS）． 14.【解析】

（1）证明：在△ABC和△DFE中,

，

∴△ABC≌△DFE（SAS）， ∴∠ACE=∠DEF， ∴AC∥DE；

（2）解：∵△ABC≌△DFE， ∴BC=EF，

∴CB﹣EC=EF﹣EC， ∴EB=CF，

∵BF=13，EC=5，

∴EB==4，

∴CB=4+5=9．

15.【解析】

证明：在△ABC和△DCB中

AB＝DC AC＝DB

BC =CB ∴△ABC≌△DCB（SSS） ∴∠ABC＝∠DCB， 在△ABE和△DCE中

ABDC ABCDCB

BECE ∴△ABE≌△DCE（SAS） ∴AE＝DE.

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知识点梳理及重点题型巩固练习

用尺规作三角形及三角形全等应用（基础）

【学习目标】

1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形；

2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等； 3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力. 【要点梳理】

要点一、基本作图 1.尺规作图的定义

利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图. 要点诠释：

尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度. 2.常见基本作图

北师大版七年级下册数学

常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.

要点诠释：

1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图. 要点二、三角形全等的实际应用

在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决.

【典型例题】

类型一、基本作图

1、作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a﹣b．

（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法） 已知： 求作： 结论：

【思路点拨】可先画出一条线段等于2a，然后再在这条线段上截去b，剩余线段即为所求线段．

【答案与解析】

解：已知：线段a、b，

求作：线段AC，使线段AC=2a﹣b．

【总结升华】本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出另一条线段，相减在较长的线段上截去． 举一反三：

【变式】（2015•魏县二模）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（ ）

A．以点C为圆心，OD为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 【答案】D．

B． 以点C为圆心，DM为半径的弧 D． 以点E为圆心，DM为半径的弧

类型二、作三角形

2、已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹） 已知：

求作：

【思路点拨】先作∠ACB=∠α，然后以点C为圆心，以a长为半径画弧，与边BC相交于点B，再以点C为圆心，以b的长为半径画弧与CA相交于点A，连接AB即可得解． 【解析】

解：已知：∠α，线段a，b，

求作：△ABC，是∠C=∠α，BC=a，AC=b， 如图所示，△ABC即为所求作的三角形．

【总结升华】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，都是基本作图，需熟练掌握． 举一反三：

【变式】已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和

，且两角的夹

边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法） 已知： 求作： 结论：

【答案】

解：已知：∠α，线段b；

求作：△ABC，使得∠B=α，∠C=α，BC=b．

结论：如图，△ABC为所求．

类型三、三角形全等的实际应用

3、如图所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好为BC的中点，且E、F、M在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理．

【思路点拨】先根据SAS判定△BEM≌△CFM，从而得出CF=BE，即测量BE之间的距离相当于测量CF之间的距离． 【答案与解析】 解：能．

证明：连接EF ∵AB∥CD，（已知）

∴∠B=∠C（两线平行内错角相等）． ∵M是BC中点 ∴BM=CM，

在△BEM和△CFM中，

∴△BEM≌△CFM（SAS）． ∴CF=BE（对应边相等）． 【总结升华】本题考查了全等三角形的应用；关键是要把题目的问题转化为证明对应边相等． 举一反三

【变式】要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（ ）

A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角 【答案】B.

4、（2016春•芦溪县期末）为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB=33米，计算楼高AB是多少米？

【思路点拨】利用全等三角形的判定方法得出△CPD≌△PAB（ASA），进而得出AB的长． 【答案与解析】

解：∵∠CPD=38°，∠APB=52°，∠CDP=∠ABP=90°， ∴∠DCP=∠APB=52°， 在△CPD和△PAB中 ∵

，

∴△CPD≌△PAB（ASA）， ∴DP=AB，

∵DB=33，PB=8， ∴AB=33﹣8=25（m）， 答：楼高AB是25米． 【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 举一反三

【变式】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（ ）

A.第4块 B. 第3块 C. 第2块 D.第1块

【答案】C.

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【巩固练习】

一.选择题

1．尺规作图是指（ ）

A．用量角器和刻度尺作图 B．用圆规和有刻度的直尺作图 C．用圆规和无刻度的直尺作图 D．用量角器和无刻度的直尺作图

2．如图，两钢条中点连在一起做成一个测量工件，AB的长等于内槽宽A'B'，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）

北师大版七年级下册数学

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3．（2016春•滕州市期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

4. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（ ） A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BAC

C．△ABO≌△CDO

D．△AOD≌△BOC

5．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

6．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等，其理论依据是全等三角形判定定理（ ）

A．SAS B．HL C．AAS D．ASA 二.填空题 7．（2016春•太原校级月考）小明将一块三角形的玻璃棒摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），若只带一块配成原来一样大小的三角形，则应该带第 块．

8．小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD=a，EH=b，则四边形风筝的周长是 ．

9.用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是 .

10．如图所示，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB=a，BC=AC=2a． 作法：（1）作一条线段AB= ；

（2）分别以 、 为圆心，以 为半径画弧，两弧交于C点； （3）连接 、 ，则△ABC就是所求作的三角形．

11．作图题的书写步骤是 、 、 ， 而且要画出 和结论，保留 ． 12．（2015•淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是 ．

三.解答题： 13．（2015•陕西模拟）如图，已知△ABC，用尺规作出△ABC的角平分线BD．（保留作图的痕迹，不写作法）

14．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，因无法直接量出A，B两点的距离，请你设计一种方案，求出A，B的距离，并说明理由．

15．（2015秋•南江县校级期中）数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A、B、C、D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA=OB=OC=OD，E、F可以在中间的两根木条上滑动，AE=CE=BF=DF．求证：∠AOE=∠EOF=∠FOD．

【答案与解析】 一.选择题 1．【答案】C；

【解析】尺规作图所用的作图工具是指不带刻度的直尺和圆规．故选：C． 2．【答案】B；

【解析】∵两钢条中点连在一起做成一个测量工件，

∴OA′=OB，OB′=OA， ∵∠AOB=A′OB′， ∴△AOB≌△A′OB′．

所以AB的长等于内槽宽A'B'， 用的是SAS的判定定理．

3．【答案】D；

【解析】解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD，

∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）． 故选D．

4．【答案】C；

【解析】根据已知所给条件，结合图形中隐含的公共边条件，可以得到A、B、D中的

三角形是可以全等，唯有C答案中的两个三角形不能全等，所以答案为C.

5．【答案】D；

【解析】根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角角边”定理

作出完全一样的三角形．故选D．

6．【答案】C ；

【解析】作出图形，利用“角角边”证明全等三角形的判定即可． 二.填空题

7．【答案】2；

【解析】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一条完整边在内的三个证明全等的要素，

所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故答案为：2．

8．【答案】2a+2b；

【解析】△DEH和△DFH中

ED=FD，∠EDH=∠FDH，DH=DH ∴△DEH≌△DFH ∴EH=FH=b

又∵ED=FD=a，EH=b ∴该风筝的周长=2a+2b.

9．【答案】SAS；

【解析】 用尺规做直角三角形，已知两直角边．可以先画出两条已知线段和确定一个直

角，作图的依据为SAS．

10．【答案】a；A；B；2a；AC，BC； 【解析】作法：（1）作一条线段AB=a；

（2）分别以A、B为圆心，以 2a为半径画弧，两弧交于C点； （3）连接AC、BC，则△ABC就是所求作的三角形．

11．【答案】已知、求作、作法，图形，作图痕迹；

【解析】作图题的书写步骤是 已知、求作、作法，而且要画出 图形和 结论，保留 作

图痕迹．

12. 【答案】75°． 【解析】如图，

∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合， ∴AB∥CD，

∴∠3=∠4=45°， ∴∠2=∠3=45°， ∵∠B=30°，

∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°.

三.解答题 13. 【解析】 解：如图：

14.【解析】

解：在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，

再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长．

15. 【解析】

证明：在△AOE和△COE中，

，

∴△AOE≌△COE（SSS）， ∴∠AOE=∠COE， 同理∠COE=∠FOD，

∴∠AOE=∠EOF=∠FOD．

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

《三角形》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.

2. 理解并会应用三角形三边关系定理；

3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.

4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.

5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等. 【知识网络】

北师大版七年级下册数学

【要点梳理】

要点一、三角形的内角和

三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．

要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的分类 1.按角分类：

直角三角形三角形　锐角三角形 斜三角形　钝角三角形要点诠释：

①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：

不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形　等边三角形要点诠释：

①不等边三角形：三边都不相等的三角形；

②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;

③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点三、三角形的三边关系

1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：

（1）理论依据：两点之间线段最短.

（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

（3）证明线段之间的不等关系．

2.三角形的重要线段：

一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．

三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.

要点四、全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质

全等三角形对应边相等，对应角相等. 2.全等三角形的判定定理

全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “

全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 要点五、用尺规作三角形 1.基本作图

利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等； 要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.

【典型例题】

类型一、三角形的内角和

1．在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数. 【思路点拨】由三角形的内角和，建立方程解决.

【答案与解析】∵∠C＝∠B－10°＝∠A+10°，由三角形的内角和定理， 得∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+20°+∠A+10°＝180°，∴∠A＝50°.

【总结升华】本题根据三角形的内角和定理列出以∠A为未知数的方程，解方程即可求得∠A.建立方程求解，是本章求解角度数的常用方法.

举一反三

【变式】若∠C=50°，∠B-∠A=10°，那么∠A=________，∠B=_______ 【答案】60°，70°.

类型二、三角形的三边关系及分类

2.一个若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______. 【思路点拨】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│＜c＜a+b. 【答案与解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c的取值范围是│2-7│＜c＜2+7,即5＜c＜9．

【总结升华】三角形任意两边之差小于第三边，若这两边之差是负数时需加绝对值． 举一反三 【变式】（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（ ） A．11 B． 5 C． 2 D． 1 【答案】B．

解：根据三角形的三边关系， 6﹣4＜AC＜6+4， 即2＜AC＜10， 符合条件的只有5.

3.一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（ ）

A 锐角三角形 B 等腰三角形 C 等腰锐角三角形

【答案】C 举一反三

【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（ ）三角形

A 锐角 B 直角 C 钝角 D无法判断

【答案】C

【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.

类型三、三角形的重要线段

4. （2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．

【思路点拨】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得

∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数． 【答案】70°． 【解析】

解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；

又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），

∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），

∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°． 故答案为：70°．

【总结升华】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键． 举一反三

【变式】在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线, 则∠DAE的度数为_________. 【答案】10°.

类型四、全等三角形的性质和判定

5.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．

(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)证明：DC⊥BE .

【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△

ABE≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过倒角可证垂直. 【答案与解析】

解：（1）△ABE≌△ACD 证明：

∠BAC＝∠EAD＝90°

∠BAC ＋∠CAE＝∠EAD ＋∠CAE

即 ∠BAE＝∠CAD 又AB＝AC，AE＝AD，

△ABE≌△ACD（SAS）

（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA， 又∠COE＝∠AOD

∠BEA＋∠COE ＝∠CDA＋∠AOD＝90°

则有∠DCE＝180°－ 90°＝90°， 所以DC⊥BE.

【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE与△ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC⊥BE. 举一反三

【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.

【答案】

证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC， ∴∠EAB＝∠DAC＝90°

∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC. 在△DAB与△EAC中，

DABEAC ABAC

BC ∴△DAB≌△EAC （ASA） ∴BD＝CE.

6.己知：在ΔABC中，AD为中线.求证：AD＜

1ABAC 2【答案与解析】

证明：延长AD至E，使DE＝AD， ∵AD为中线， ∴BD＝CD

在△ADC与△EDB中

DCDB ADCBDE

ADED ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴AC＝BE

在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD ∴AD＜

1ABAC. 2【总结升华】用倍长中线法可将线段AC，2AD，AB转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D旋转180°. 举一反三

【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x的取值范围是( ) A.1 ＜x＜ 6 B.5 ＜x＜ 7 C.2 ＜x＜ 12 D.无法确定 【答案】A ；

提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x＜7＋5，所以选A选项.

类型五、全等三角形判定的实际应用

7.如图，小叶和小丽两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你

设计出测量方案．

【答案与解析】本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，是一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，从而得知两家的距离． 解：在点B所在的河岸上取点C，连结BC，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，且A、C、E三点在同一直线上，测量出DE的长，就是AB的长．

在△ABC和△ECD中

BD CDCB

ACBECD ∴△ABC≌△ECD（ASA）

∴AB=DE． 【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决． 由已知易证△ABC≌△ECD，可得AB=DE，所以测得DE的长也就知道两家的距离是多少．

类型六、用尺规作三角形

8.（2016•蓝田县一模）如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）

【思路点拨】先作线段AC=b，再过点C作AC的垂线，接着以点A为圆心，a为半径画弧交此垂线于B，则△ABC为所求． 【答案与解析】 解：如图，

△ABC为所求作的直角三角形．

【总结升华】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 举一反三

【变式】作图题：（要求：用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 已知：线段a与线段b．

求作：线段AB，使AB=2a﹣b．

【答案】

解：如图所示：

作线段AB即为所求．

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一.选择题 1．（2015•百色）下列图形中具有稳定性的是（ ） A．正三角形 B． 正方形 C． 正五边形 D． 正六边形

2.已知三角形两边长分别为4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是 ( )

A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm

3.（2016•白云区校级二模）下列说法不正确的是（ ） A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部 C．三角形的高在三角形的内部

D．三角形必有一高线在三角形的内部 4. 在下列结论中, 正确的是( ) A.全等三角形的高相等 B.顶角相等的两个等腰三角形全等

C. 一角对应相等的两个直角三角形全等 D.一边对应相等的两个等边三角形全等 5. 图中的尺规作图是作（ ）

北师大版七年级下册数学

A. 线段的垂直平分线 B. 一条线段等于已知线段 C. 一个角等于已知角 D. 角的平分线 6．如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）

A. AB垂直平分CD B. CD垂直平分AB C. AB与CD互相垂直平分 D. CD平分∠ACB

7. 如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（ ）

A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

8. 若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为 ( ) A．40° B．80° C．60° D．120° 二.填空题

9.（2015•邵阳）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形： ．

10. △ABC和△ADC中，下列三个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________． 11. 如图，在△ABC中， ED垂直平分BC，EB=3．则CE长为 ．

12. 若三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则此三角形内角分别为____ ____． 13. 如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝a，CD＝b，

则△ADB的面积为______________ ．

14．在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线， 则∠DAE的度数为_________.

15. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.

16. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，

则ΔOMN的周长＝______cm．

三.解答题

17.（2015•福州）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．

18．作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．

已知：在下面的△ABC中，用尺规作出AB边上的高（不写作法，保留作图痕迹）

19.（2016春•甘肃校级月考）有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离，你能说说其中的道理吗？

20．已知：如图，△ABC中，ACB45，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF

并延长交AC于点E，BADFCD．

求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．

【答案与解析】

一.选择题 1. 【答案】A 2. 【答案】B；

【解析】根据三角形的三边关系进行判定． 3. 【答案】C；

【解析】解：A、三角形的中线在三角形的内部正确，故本选项错误；

B、三角形的角平分线在三角形的内部正确，故本选项错误； C、只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故本选项正确； D、三角形必有一高线在三角形的内部正确，故本选项错误． 故选C．

4. 【答案】D；

【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；B项如果腰不相等不能证明全等；C

项直角三角形至少要有一边相等.

5. 【答案】A；

【解析】根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故做的是：线段的垂直平分线. 6. 【答案】A；

【解析】∵AC=AD，BC=BD，

∴点A，B在线段CD的垂直平分线上． ∴AB垂直平分CD． 故选A．

7. 【答案】A；

【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝

∠EAC，故△CEF为等腰三角形.

8. 【答案】B；

【解析】根据三角形内角和180°，以及已知条件可以计算得出∠B的度数为120°. 二.填空题

9.【答案】△ADF≌△BEC．

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，∠DAC=∠BCA， ∵BE∥DF，

∴∠DFC=∠BEA， ∴∠AFD=∠BEC， 在△ADF与△CEB中，

，

∴△ADF≌△BEC（AAS）.

10．【答案】①②③； 11. 【答案】3；

【解析】∵ED垂直平分BC，

∴可得△BED≌△CED（SAS） ∴CE=BE=3.

12. 【答案】100°，60°，20°．

13.【答案】

1ab； 2【解析】由三角形全等知D点到AB的距离等于CD＝b，所以△ADB的面积为14. 【答案】10°． 15.【答案】45°；

【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD. 16. 【答案】10；

【解析】OM＝BM，ON＝CN，∴△OMN的周长等于BC. 三.解答题 17.【解析】

证明：∵∠3=∠4， ∴∠ABC=∠ABD， 在△ABC和△ABD中，∴△ABC≌△ABD（ASA）， ∴AC=AD．

18.【解析】 解：

，

1ab. 2

19.【解析】

解：在△ABC和△CED中，

AC=CD，∠ACB=∠ECD（对顶角），EC=BC， ∴△ABC≌△DEC， ∴AB=ED，

即量出DE的长，就是A、B的距离. 20．【解析】

证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.

∵ ACB45，

∴ ACBDAC45 ∴ AD＝CD

∵ BADFCD， ∴ △ABD≌△CFD

(2)∵△ABD≌△CFD ∴ BD＝FD.

∵ ∠FDB＝90°，

∴ FBDBFD45.

AEFBDC ∵ ACB45， ∴ BEC90. ∴ BE⊥AC．

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

变量之间的关系

【学习目标】

1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；

2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系. 3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系.

4. 能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测. 【要点梳理】

要点一、变量、常量的概念

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，s60t，速度60千米/时是常量，时间t和里程s为变量. t是自变量，s是因变量.

要点二、用表格表示变量间关系

借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况. 要点诠释：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等. 要点三、用关系式表示变量间关系

关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如y3x），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.

要点诠释：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式.

要点四、用图象表示变量间关系

图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.

要点诠释：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色. 【典型例题】

北师大版七年级下册数学

类型一、常量、自变量与因变量

1、对于圆的周长公式C=2πR，下列说法正确的是（ ） A．π、R是变量，2是常量 B．R是变量，π是常量

C．C是变量，π、R是常量 D．C、R是变量，2、π是常量

【思路点拨】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．

【答案】D； 【解析】

解：C、R是变量，2、π是常量．

【总结升华】本题主要考查了常量，变量的定义，是需要识记的内容． 举一反三：

【变式】从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而逐渐增大，这个问题中自变量是（ ） A．物体 B．速度 C．时间 D．空气 【答案】C.

类型二、用表格表示变量间关系

2、已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系： 底面半径x（cm） 1.6 用铝量y（cm3） 6.9 2.0 6.0 2.4 5.6 2.8 5.5 3.2 5.7 3.6 6.0 4.0 6.5 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当易拉罐底面半径为2.4cm时，易拉罐需要的用铝量是多少？

（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由． （4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响． 【思路点拨】

（1）用铝量是随底面半径的变化而变化的，因而底面半径为自变量，用铝量为因变量； （2）根据表格可以直接得到； （3）选择用铝量最小的一个即可；

（4）根据表格，说明随底面半径的增大，用铝量的变化即可． 【答案与解析】

解：（1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量.

（2）当底面半径为2.4cm时，易拉罐的用铝量为5.6cm3.

（3）易拉罐底面半径为2.8cm时比较合适，因为此时用铝较少，成本低.

（4）当易拉罐底面半径在1.6～2.8cm变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐底面半径在2.8～4.0cm间变化时，用铝量随半径的增大而增大．

【总结升华】根据表格理解：随底面半径的增大，用铝量的变化情况是关键．

类型三、用关系式表示变量间关系

3、（2015春•淄博校级期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P在BC上运动，点P不与点B，C重合，设PC=x，若用y表示△APB的面积，求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．

【答案与解析】

解：解：∵BC=8，CP=x， ∴PB=8﹣x， ∴S△APB=PB•AC =×（8﹣x）×6

=24﹣3x

∵点P不与点B，C重合，

∴自变量的取值范围是：0＜x＜8．

【总结升华】利用三角形面积公式找到变量之间的关系式，要把握点P是一动点这个规律，结合图形观察到点P移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围． 举一反三：

【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形．请你写出底边长

y(cm)与腰长x(cm)的关系式，并求自变量x的取值范围．

【答案】

解：由题意得，2xy＝80,

所以y802x，

由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，

所以y802x,20x40. 类型四、用图象表示变量间关系

x0y802x0，解得20x40 所以2x802x4、星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题

（1）公共阅报栏离小红家有______米，小红从家走到公共阅报栏用了______分钟； （2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分钟；

（3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分钟； （4）小红从邮亭走回家用了______分钟，平均速度是______米／分钟． 【答案】（1）300，4；（2）6；（3）200，3；（4）5，100.

【解析】由图象可知，0到4分钟，小红从家走到离家300米的报栏，4到10分钟，在公共

报栏看新闻，10到13分钟从报栏走到200米外的邮亭，13到18分钟，从离家500米的邮亭返回家里.

【总结升华】这个图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动.这条线段左右端点的横坐标的差，对应相应活动所用的时间. 举一反三：

【变式】（2015秋•南京期末）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．如图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与离家后所用时间t（分）之间的函数关系．则下列说法中错误的是（ ）

A．小明看报用时8分钟

B．小明离家最远的距离为400米

C．小明从家到公共阅报栏步行的速度为50米/分 D．小明从出发到回家共用时16分钟 【答案】A；

【解析】A、小明看报用时8﹣4=4分钟，错误；

B、小明离家最远的距离为400米，正确；

C、小明从家到公共阅报栏步行的速度为50米/分，正确； D、小明从出发到回家共用时16分钟，正确； 故选A．

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

一.选择题

1． 若y与x的关系式为y30x6，当x＝

北师大版七年级下册数学

1时，y的值为（ ） 32 A．5 B．10 C．4 D．－4

2. 下列关于圆的面积S与半径R之间的关系式SR中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）

A．S，R是变量，是常量 B．S，，R是变量，2是常量 C．S，R是变量，是常量 D．S，R是变量，和2是常量

21中，自变量x的取值范围是（ ） 3x11111A．x B．x C．x D．x3333

24．矩形的周长为18cm，则它的面积S（cm）与它的一边长x（cm）之间的关系式是（ ）

A．Sx(9x)(0x9) B．Sx(9x)(0x9) C．Sx(18x)(0x9) D．Sx(18x)(0x9)

3. 在关系式y5．（2015春•南昌期末）如图，描述了安佶同学某日造成的一段生活过程：他早上从家里跑步去书店，在书店买了一本书后：马上就去早餐店吃早餐，吃完早餐后，立即散步走回家．图象中的平面直角坐标系中的x表示时间，y表示安佶离家的距离．请你认真研读这个图象，根据图象提供的信息，以下说法错误的是（ ）

A．安佶从家到新华书店的平均速度是10千米/分钟 B．安佶买书花了15分钟 C．安佶吃早餐花了20分钟

D．从早餐店到安佶家的1.5千米

6．如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t（小时）与山高h（千米）间的关系用图象表示是（ ）

二.填空题

7. 若球体体积为V，半径为R，则V

43R．其中变量是_______、•_______，常量是3________．

8．如图中，每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，•图案的每条边（包括两个顶点）上都有n（n≥2）个棋子，每个图案的棋子总数为S，按图的排列规律推断S与n之间的关系可以用式子___________来表示．

9. 油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，1小时流完，•求油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（分钟）间的关系式为_______________，•自变量的范围是____________．当Q＝10kg时，t＝__________（分钟）． 10．（2014春•招远市期末）星期日，小明同学从家中出发，步行去菜地里浇水，浇完后又去玉米地里除草，然后回到家里．如图是所用的时间与离家的距离的关系的图象，若菜地和玉米地的距离为a千米，在玉米地里除草比在菜地里浇水多用的时间为b分钟，则a= ，b= ．

11. 如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y（元）与托运行李的质量x（千克）的关系，由图中可知行李的质量只要不超过_________千克，•就可以免费托运．

12．已知等腰三角形的周长为60，底边长为x，腰长为y，则y与x之间的关系式及自变

量的取值范围为_______. 三.解答题

13.（2014春•元宝区校级期中）如图，这是反映爷爷每天晚饭后从家中出发去元宝山公园锻炼的时间与距离之间关系的一幅图．

（1）如图反映的自变量、因变量分别是什么？ （2）爷爷每天从公园返回用多长时间？ （3）爷爷散步时最远离家多少米？ （4）爷爷在公园锻炼多长时间？

（5）计算爷爷离家后的20分钟内的平均速度．

14. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系：（其中0≤x≤30） 提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20

对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 （1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？ （2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强； （4）从表中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

15. 如图所示，正方形ABCD的边长为4 cm，E、F分别是BC、DC边上一动点，E、F同

时从点C均以1 cm/s的速度分别向点B、点D运动，当点E与点B重合时，运动停止．设运动时间为x(s)，运动过程中△AEF的面积为y，请写出用x表示y的关系式，

并写出自变量x的取值范围．

【答案与解析】 一.选择题

1. 【答案】C；

【解析】y3061064. 2. 【答案】C；

【解析】是圆周率，是一个常量. 3. 【答案】C；

【解析】要使式子有意义，需3x－1≠0. 4. 【答案】A；

【解析】矩形的另一边长为5. 【答案】A；

【解析】A、安佶从家到新华书店的平均速度是2.5÷15=千米/分钟，故A选项错误； B、由图象可得出安佶买书花了30﹣15=15（分钟），故B选项正确； C、由图象可得出安佶吃早餐花了65﹣45=20（分钟），故C选项正确； D、由函数图象可知，从早餐店到安佶家的1.5千米，故D选项正确． 故选：A． 6. 【答案】D； 二.填空题

13182x9x，所以Sx(9x)(0x9). 24； 38. 【答案】S4n4；

9. 【答案】Q300.5t；0t60；40．

7. 【答案】R 、V；

【解析】油从油箱里流出的速度为30÷60=0.5kg/min，所以关系式为Q300.5t 10.【答案】0.9km；8min.

【解析】由纵坐标看出家到菜地的距离是1.1千米，家到玉米地的距离是2千米，菜地

和玉米地的距离为：2=1.1=0.9千米；

由横坐标看出浇水时间为25﹣15=10（分钟），除草时间为55﹣38=18分钟，在玉米地里除草比在菜地里浇水多用的时间为18=10=8分钟， 故答案为；0.9km，8min． 11.【答案】20；

【解析】由图象可知，在0＜x＜20的范围内，y＝0.

1x(0x30)； 21 【解析】2y＋x＝60，y30x，由于2y＞x且x＞0，所以0x30.

212.【答案】y30二.解答题 13.【解析】 解：（1）由图象知，图形反映了距离和时间之间的函数关系；自变量是时间，因变量是路程． （2）爷爷没天从公园返回用了15分钟． （3）爷爷散步时最远离家900米． （4）爷爷在公园锻炼10分钟． （5）900÷20=45（米/分）． 14.【解析】

解：（1）提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量；

（2）当x=10时，y=59，所以时间是10分钟时，学生的接受能力是59． （3）当x=13时，y的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强． （4）由表中数据可知：当2＜x＜13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；

当13＜x＜20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低．

15.【解析】

解：yS正方形ABCDSABESDAFSCEF

111ABBEADDFEFFC 222111424(4x)4(4x)xx

2221x24x(0x4)．

2BC2重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

轴对称

【学习目标】

1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.

2.了解轴对称以及轴对称图形的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形． 2．探索轴对称的基本性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形． 【要点梳理】

要点一、轴对称图形 轴对称图形的定义

一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.

要点诠释：

轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.

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要点二、轴对称 1.轴对称定义

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.

要点诠释：

轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等. 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系

轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 要点三、轴对称与轴对称图形的性质 轴对称、轴对称图形的性质

在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.

要点诠释：（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【典型例题】

类型一、判断轴对称图形

1、（2016•邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形，否则就不是. 【答案】D；

【解析】轴对称图形即能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合. 【总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察，做到不重复、不遗漏. 举一反三：

【变式1】下列图形中，对称轴最少的对称图形是 ( )

【答案】A；

提示：A一条对称轴，B四条对称轴，C五条对称轴，D三条对称轴.

【变式2】在直线、角、线段、等边三角形四个图形中，对称轴最多的是 ，它有 条对称轴；最少的是 ，它有 条对称轴 【答案】直线、无数、角、1．

2、观察图形

…并判断照此规律从左到右第四个图形是（ ）

A . B. C . D. 【思路点拨】根据题意分析图形涂黑规律，求得结果，采用排除法判定正确选项． 【答案】D；

【总结升华】本题考查学生根据图形，归纳、发现并运用规律的能力．注意结合图形解题的思想． 举一反三：

【变式】将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（ ） A．【答案】C.

B．

C．

D．

类型二、轴对称或轴对称图形的应用

3、如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕

折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E （如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F （如图③）； （3）将纸片收展平，那么∠AEF的度数为（ ）

A．60°

【答案】B；

B．67.5° C．72° D．75°

【解析】∠AEF＝（180°－45°）÷2＝67.5°.

【总结升华】折叠所形成的图形是轴对称图形，对应角相等. 举一反三：

【变式1】如图，△ABC中，AB＝BC，△ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的A处，

若点D为AB边的中点，∠A＝70°，求∠BDA的度数．

【答案】100°； ∵AB＝BC，

∴∠A＝∠C＝70°，∠B＝40°

又∵ΔABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的A处，点D为AB边的中点， ∴BD＝DA，∠B＝∠DAB＝40°， ∴∠BDA＝180°－40°－40°＝100°.

【变式2】将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形. 若CED'＝56°,则∠AED的大

小是_______.

【答案】62°；

4、如图，点P在∠AOB内，M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，MN分别交AO，BO于点E、F，若△PEF的周长等于20cm，求MN的长．

【思路点拨】根据轴对称的性质可得ME=PE，NF=PF，然后求出MN=△PEF的周长． 【答案与解析】

解：∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点， ∴ME=PE，NF=PF，

∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长， ∵△PEF的周长等于20cm， ∴MN=20cm．

【总结升华】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

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重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一.选择题 1．（2016•漳州）下列图案属于轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．2．如图，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 （ ）

A．30°

B．50° C．90° D．100°

3. 下列说法中错误的是( )

A.两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 B.关于某直线对称的两个图形全等 C.面积相等的两个三角形对称

D.轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后重合

4.如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（﹣1，4）．将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是（ ）

A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1） 5. 下列说法错误的是（ ）

A. 若A，A′是以BC为轴对称的点，则AA′垂直平分BC B. 线段的一条对称轴是它本身所在的直线

C. 一条线段的一个端点的对称点是另一个端点 D. 等边三角形是轴对称图形

6．将如图①的矩形ABCD纸片沿EF折叠得到图②，折叠后DE与BF相交于点P，如果∠BPE=130°，则∠PEF的度数为（ ）

A．60° B．65° C．70° D．75° 二.填空题

7. （2016•赤峰）下列图表是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是 （填序号）

8．在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有 个．

9. 如图，等边△ABC的边长为2cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A处，且点A在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．

10.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=______°.

11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E． 若∠CBD : ∠DBA ＝3:1，则∠A的度数为________．

12．利用折纸的方法，将1条线段分成16段彼此相等的线段，需要折 次．

三.解答题

13. 如图所示，一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的，但是在实际中是正确的吗?

实际中这个算式是什么?

14.如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm， （1）求线段MN的长，

（2）若∠AOB=30°，求OM的长．

15．如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．

【答案与解析】 一.选择题

1. 【答案】A；

【解析】根据轴对称图形的定义判断. 2. 【答案】D；

【解析】成轴对称的两个图形对应线段、对应角相等. 3. 【答案】C；

【解析】面积相等不一定全等，也不一定对称. 4. 【答案】A；

【解析】解：由A点坐标，得C（﹣3，1）．

由翻折得C′与C关于y轴对称，C′（3，1）． 故选：A．

5. 【答案】A；

【解析】A、应该是BC垂直平分AA′，故本选项错误；B、线段的一条对称轴是它本

身所在的直线，故本选项正确；C、一条线段的一个端点的对称点是另一个端点，故本选项正确；D、等边三角形是轴对称图形，故本选项正确．

6. 【答案】B；

【解析】解：∵AE∥BF，

∴∠AEP=180°﹣∠BPE=180°﹣130°=50°． 又∵折叠后DE与BF相交于点P，设∠PEF=x， 即∠AEP+2∠PEF=180°， 即50°+2x=180°， x=65°． 故选：B．

二.填空题

7.【答案】①②③④ ． 8. 【答案】3；

【解析】解：如图所示，有3个使之成为轴对称图形．

故答案为：3．

9. 【答案】6；

【解析】根据对称性，阴影部分的周长等于△ABC的周长＝6cm. 10．【答案】70；

【解析】∵CD与BE互相垂直平分，∴DB=DE，∵∠BDE=70°，∴∠BDC=35°，

∠ABD=55°，∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°-55°=35°，根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．

11.【答案】18°；

【解析】∠A＝∠ABD＝x，∠CBD＝3x，5x＝90°，x＝18°. 12.【答案】4；

【解析】因为24=16，所以需折4次．

三.解答题 13.【解析】

在实际中的算式是：151＋25＋12＝188；结果也是正确的. 14.【解析】 解：（1）根据题意，EP=EM，PF=FN，

∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长， ∴MN=20cm．

（2）连接OM、OP、ON，

∵M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点， ∴∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB， ∵∠AOB=30°，

∴∠MON=2∠AOB=60°， ∴△MON为等边三角形， ∴OM=ON=MN=20cm．

15.【解析】

解：如图所示，答案不唯一，参见下图．

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

简单的轴对称及利用轴对称进行设计（基础）知识讲解

【学习目标】

1．理解轴对称变换，能按要求作出简单平面图形经轴对称后的图形；能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实际问题.

2. 探索等腰三角形的性质定理以及判定定理，能熟练运用它们进行推理和计算．

3. 会作线段的垂直平分线和角的平分线，探索线段垂直平分线和角平分线的性质定理与判

定定理，能用它们解决几何计算与证明题.

4．积累探究图形性质的活动经验，发展空间观念，同时能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力． 【要点梳理】

要点一、作轴对称图形和对称轴 1.做轴对称图形

可以根据两个图形成轴对称的性质，先确定图形关键点关于已知直线的对称点，然后依顺序连接点即可得已知图形关系直线的对称图形.

要点诠释：已知一点和直线确定其对称点的作法如下：过这一点作已知直线的垂线，得垂线段，再以垂足为起点，在直线的另一旁截取一点，使这条线段的长与垂线段等长，截取的这点就是已知点关于直线的对称点. 2.对称轴的作法

若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．

要点诠释：

在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

北师大版七年级下册数学

要点二、等腰三角形的性质及判定 1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线

合一”）．

要点诠释：

（1）性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． （2）性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

（3）等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，

通常情况只有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴．

2.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 要点三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理

线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是： 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

要点诠释：

性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 要点四、角平分线性质定理及其逆定理

角平分线性质定理是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；逆定理：在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.

要点诠释：

性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 要点五、利用轴对称性质进行简单设计

欣赏现实生活中的轴对称图形，能利用轴对称进行一些图案设计，体验轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，感受生活中的数学美. 【典型例题】

类型一、作轴对称图形及对称轴

1、已知如下图，求作△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′．

【思路点拨】分别作出点B与点C关于直线l的对称点，然后连接AB′，AC′，B′C′．即

可得到△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′．

【答案与解析】

解：

【总结升华】作一个图形的对称图形就是作各个顶点关于对称轴的对称点，把作对称图形的问题可以转化为作点的对称点的问题．

2、画出如图中的各图的对称轴．

【思路点拨】根据轴对称图形的性质，找到图形中的一组对应点，连接对称图形的两个对应点，作这个线段的垂直平分线就是这个图形的对称轴． 【答案与解析】 解：如图所示：

【总结升华】本题考查了对称轴的画法．解答此题要明确对称轴所具有的性质：对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线． 举一反三：

【变式】在下图中，画出△ABC关于直线MN的对称图形.

【答案】△A'B'C'为所求.

类型二、等腰三角形的性质与判定

3、（2015秋•广西期末）已知：如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．

【思路点拨】由题意，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C． 【答案与解析】

解：在△ABC中，AB=AD=DC， ∵AB=AD，在三角形ABD中，

∠B=∠ADB=（180°﹣26°）×=77°， 又∵AD=DC，在三角形ADC中， ∴∠C=

=77°×=38.5°．

【总结升华】本题考查等腰三角形的性质及应用等腰三角形两底角相等，还考查了三角形的内角和定理及内角与外角的关系．利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法，要熟练掌握． 举一反三：

【变式】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．

求证：AC＝BF．

【答案】

证明：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG.

∵AD为中线,∴BDCD. 在△ACD和△GBD中,

F A E ADDG,ADCGDB,CDBD,∴△ACD≌△GBD(SAS).B

D

C

∴BGAC,GCAD.∵AEEF,

∴CADAFE.又∵BFDAFE,∴GBFD.∴BFBGAC.

G

类型三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理

4、如图，△ABC中，∠BAC=110°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．

（1）求∠DAF的度数；

（2）如果BC=10cm，求△DAF的周长．

【思路点拨】1）根据三角形内角和定理可求∠B+∠C；根据垂直平分线性质，DA=BD，FA=FC，则∠EAD=∠B，∠FAC=∠C，得出∠DAF=∠BAC﹣∠EAD﹣∠FAC=110°﹣（∠B+∠C）求出即可．

（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=FC，即可得出△DAF的周长为BD+FC+DF=BC，即可得出答案． 【答案与解析】 解：（1）设∠B=x，∠C=y． ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴110°+∠B+∠C=180°， ∴x+y=70°．

∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G， ∴DA=BD，FA=FC，

∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．

∴∠DAF=∠BAC﹣（x+y）=110°﹣70°=40°．

（2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G， ∴DA=BD，FA=FC，

∴△DAF的周长为：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）．

【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用，注意数形结合

思想与整体思想的应用. 举一反三 【变式】（2015•徐州）如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A= °．

【答案】87．

解：∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D， ∴∠DBE=∠ABC=（180°﹣31°﹣∠A）=（149°﹣∠A）， ∵DE垂直平分BC， ∴BD=DC， ∴∠DBE=∠C，

∴∠DBE=∠ABC=（149°﹣∠A）=∠C=31°， ∴∠A=87°． 故答案为：87．

5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． 求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

【思路点拨】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知

∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证． 【答案与解析】 证明：∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°=∠ACB， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAC， ∵AD=AD，

∴△AED≌△ACD， ∴AE=AC，

∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥CE，

即直线AD是线段CE的垂直平分线．

【总结升华】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线

合一定理，解题的关键是证明AE=AC． 举一反三

【变式】如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（ ）

A．P是∠A与∠B两角平分线的交点

B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC、AB两边上的高的交点

D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 【答案】Ｂ；

类型四、角平分线性质定理及其逆定理

6、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于O． 求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等．

【思路点拨】作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，根据角平分线性质可得OD=OE，OF=OE，∴OD=OE=OF． 【答案与解析】

证明：作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，

∵BM为△ABC的角平分线， OD⊥AB，OE⊥BC，

∴OD=OE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）． 同理可证：OF=OE． ∴OD=OE=OF．

即点O到三边AB、BC、CA的距离相等．

【总结升华】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．正确作出辅助线是解答本题的关键． 举一反三

【变式】如图：△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（ ） ①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等 ④BP平分∠APC．

A．①② B．①④ C．③② D．③④ 【答案】Ｃ；

7、已知如图：AD、BE是△ABC的两条角平分线，相交于P点 求证：P点在∠C的平分线上．

【思路点拨】首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ=PN即可． 【答案与解析】

证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q， ∵P在∠BAC的平分线AD上，

∴PM=PQ，P在∠ABC的平分线BE上， ∴PM=PN， ∴PQ=PN，

∴点P在∠C的平分线上．

【总结升华】本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．用此性质证明它的逆定理成立．角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．正确作出辅助线是解答本题的关键．

类型五、利用轴对称性质进行设计

8、如图所示，请你用三种方法，把左边的小正方形分别平移到右边三个图形中，使各个图形成为轴对称图形，并分别画出其对称轴所在的位置．

【思路点拨】根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图． 【答案与解析】 解：如图所示．

．

【总结升华】本题考查了轴对称图形的性质及其作图的方法，做这些题时找对称轴及对称点是关键．

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1. 下列说法中，正确的是（ ）

A．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形 B．全等三角形是关于某直线对称的

C．两个图形关于某条直线对称，这两个图形一定分别位于这条直线的两侧

D．若点A、B关于直线MN对称，则AB垂直平分MN 2．如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC等于（ ）

北师大版七年级下册数学

A.50° B．60° C．70° D．80°

3. 如图，△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是( )

A．△AA1P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA1，CC1

C．△ABC与△A1B1C1面积相等 D．直线AB、A1B1的交点不一定在MN上

4. （2015•随州）如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

5. 如图，D是AB边上的中点，将ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若

B50，则BDF度数是（ ） A．60° B．70° C．80° D．不确定

6. 如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF ＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是（ ）

A.150° B.300° C.210° D.330°

二.填空题

7. 已知△ABC和△ABC关于MN对称，并且AB＝5，BC＝3，则AC的取值范围是_________.

8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=33°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于D，交AC于E，则∠EBC= ．

9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB ＝_________cm．

10. 连续进行轴对称变换，当对称轴平行时，第二次变换得到的图形可以看成由原图形

______得到的.

11. 如图，这是小龙制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知OC所在的直线为对称轴，

且∠A＝32°，∠ACO＝24°，则∠BOC＝________.

12. （2015秋•阳新县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB=8，则DE= ．

三.解答题

13. 如图，在43正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两

种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图．．．形.

14. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小

15. （2016春•启东市月考）如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．试探索BF与CF的数量关系，写出你的结论并证明．

【答案与解析】 一.选择题

1. 【答案】A；

【解析】C项这两个图形有可能相交，D项是MN垂直平分AB. 2. 【答案】D；

【解析】连接BD、AC．设∠1=x．根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，BD=CD．根

据等边对等角，得∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x．根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°﹣2∠4=100°﹣2x，∠BDC=180°﹣2x，进而求得∠ADC．

3. 【答案】D ；

【解析】对应线段所在直线的交点一定在对称轴上或平行于对称轴. 4.【答案】C. 【解析】∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C． 5. 【答案】C；

【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，BDF＝180°－50°－50°＝80°. 6. 【答案】B；

【解析】对称轴两边的图形全等，∠AFE＋∠BCD＝2（∠AFC＋∠BCF）＝300°. 二.填空题

7. 【答案】2＜A'C'＜8；

【解析】△ABC和△A'B'C'关于MN对称，∴△ABC≌△A'B'C'，A'C'大于两边

之差，小于两边之和.

8. 【答案】24°；

【解析】根据相等垂直平分线性质得出AE=BE，求出∠A=∠ABE=33°，根据三角形的

内角和定理求出∠ABC，相减即可求出答案．

9. 【答案】8；

【解析】DE＝DC，AC＝BC＝BE，△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝AC＋AE＝AB＝8. 10.【答案】平移. 11.【答案】124°；

【解析】成轴对称的图形全等，∠BOC＝180°－32°－24°＝124°. 12.【答案】4.

【解析】∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠CAD=∠BAD， ∵DE∥AC，

∴∠CAD=∠ADE， ∴∠ADE=∠BAD， ∴AE=DE， ∵BD⊥AD，

∴∠ADE+∠BDE=∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠ABD=∠BDE， ∴DE=BE， ∴DE=AB， ∵AB=8， ∴DE=×8=4． 故答案为：4． 三.解答题 13.【解析】

答案不唯一，参见下图.

14.【解析】

作法如下：

作M点关于OB的对称点M，过M作MH⊥于OA于H，交OB于P，点P为所求.

15.【解析】 解：BF=2CF． 证明：连接AF，

∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠B=∠C=30°， ∵EF垂直平分AC， ∴AF=CF，

∴∠CAF=∠C=30，

∴∠AFB=∠CAF+∠C=60°，

∴∠BAF=180°﹣∠B﹣∠AFB=90°， ∴BF=2AF， ∴BF=2CF．

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

《生活中的轴对称》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.

2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用. 3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法. 4.能按照要求，画出一些轴对称图形. 【知识网络】

北师大版七年级下册数学

【要点梳理】

要点一、轴对称

1.轴对称图形和轴对称

（1）轴对称图形

如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

（2）轴对称

定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.

要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；

②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.

（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系

要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

2.线段的垂直平分线

线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

要点诠释：

线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.

3.角平分线

角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.

要点诠释：

前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.

要点二、作轴对称图形

1.作轴对称图形

（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；

（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

要点三、等腰三角形 1.等腰三角形

（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝（2）等腰三角形性质

180A ． 2 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三

线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等

边”）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．

2.等边三角形

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包 括等边三角形．

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°. （3）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【典型例题】

类型一、轴对称的判断与应用

1、（2015•泰安模拟）如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（ ）

A． B． C． D． 【答案】B．

【解析】按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B．

【总结升华】对于一下折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力． 举一反三：

【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（ ）.

【答案】B ；

提示：从水中看物体——上下颠倒

2、如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B•是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A•球

经过的路线，并写出作法．

【答案与解析】

解：作点A关于直线CF对称的点G，连接BG交CF于点P，则点P即为A•球撞击桌面边

缘CF的位置，A•球经过的路线如下图.

【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把AP转化成了线段GP，通过找A点的对称点，从而确定点P的位置. 举一反三：

【变式】已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是P1和P12分别交2，PPOM, ON与点A、B，已知PP12＝15，则△PAB 的周长为（ ） A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24

【答案】A；

提示：根据轴对称的性质，PA=P1A，PB=P2B，△PAB 的周长等于PP12.

类型二、线段垂直平分线性质

3、如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD=3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长．

【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可． 【答案与解析】

解：∵AD是线段BC的垂直平分线，

∴AB=AC，BD=CD， 又∵BD=3cm， ∴BC=6cm，

又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm， ∴2AC=14， AC=7cm． 【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 举一反三

【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）

Ａ．ED=CD Ｂ．∠DAC=∠B Ｃ．∠C＞2∠B Ｄ．∠B+∠ADE=90° 【答案】Ｄ；

类型三、角平分线性质

4、如图，点O到△ABC的两边AB，AC的距离相等，且OB=OC．求证：AB=AC．

【思路点拨】根据题意过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，则OE=OF，已知OB=0C，可证Rt△OEB≌Rt△OFC，从而得∠OBE=∠OCF，又由OB=OC得∠OBC=∠OCB，可得∠ABC=∠ACD，即AB=AC． 【答案与解析】

证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，

由题意知，OE=OF．

在Rt△OEB和Rt△OFC中， ∵OE=OF，OB=OC， ∴Rt△OEB≌Rt△OFC， ∴∠OBE=∠OCF，

又由OB=OC知∠OBC=∠OCB， ∴∠ABC=∠ACD， ∴AB=AC．

【总结升华】本题考查了三角形全等的判定与性质．关键是根据题意证明三角形全等，得出相等角，利用等角对等边证明结论． 举一反三

【变式】点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（ ）

A. BC的中线上 B. BC边的垂直平分线上

C. BC边的高线上 D.∠A的平分线所在的直线上 【答案】D；

类型四、等腰三角形的性质与判定

5、已知：一等腰三角形的两边长x，y满足方程组2xy3，则此等腰三角形的

3x2y8周长为（ ）

A.5 B.4 C.3 D.5或4

【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形. 【答案】A； 【解析】 解：解方程组2xy3x2得，

3x2y8y1当腰为1，2为底时，1＋1＝2，不能构成三角形，

当腰为2，1为底时，能构成三角形，周长为2＋2＋1＝5 【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 举一反三：

【变式】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（ ）

A.55°，55° B.70°，40° C.55°，55°或70°，40° D.以上都不对

【答案】C；

提示：当70°为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2＝55°，当70°为底角时,另外一个底角也是70°,顶角是180°－140°＝40°．

6、（2016春•杨浦区期末）已知：如图，在△ABC中，AC=BC，点D在AB边上，DE∥AC交BC边于点E，DF⊥AB，垂足是D，交直线BC于点F，试说明△DEF是等腰三角形的理由．

【思路点拨】由等边对等角和平行线的性质得：∠B=∠BDE=∠A，由DF⊥AB得△BDF是直角三角形，得∠BDE+∠EDF=90° 和∠B+∠F=90°，则∠F=∠EDF，从而得出结论．

【答案与解析】

解：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵DE∥AC， ∴∠BDE=∠A， ∴∠B=∠BDE， ∵FD⊥AB， ∴∠BDF=90°，

∴∠BDE+∠EDF=90°， ∵∠B+∠F+∠BDF=180°， ∴∠B+∠F=90°， ∴∠F=∠EDF， ∴DE=DF，

即△DEF是等腰三角形．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质和判定，是常考题型；熟练掌握等边对等角，等角对等边；以及直角三角形的两个锐角互余． 举一反三：

【变式1】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．

【答案】

解：△AEC是等腰三角形．

理由如下：∵∠1＝∠2，

∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE， 又∵AB＝AD，∠B＝∠D， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴AC＝AE．

即△AEC是等腰三角形．

【变式2】如图，∠BAC＝90°，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE

和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的数量关系．

【答案】ED＝2AM 解：连接DE，

∵∠BAC＝90°，M是BC的中点

∴AM＝BM＝MC＝

1BC 2∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD ∴△ABC≌△AED ∴ED＝BC ∴ED＝2AM

类型五、等边三角形的性质与判定

7、如图，设Ｄ为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB, ∠DBP＝∠DBC.求∠BPD的度数.

【答案与解析】

解：如图，连接CD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，又AD＝BD，DC是公共边， ∴△BDC≌△ADC（SSS），

∴∠DCB＝∠DCA＝

1×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC， 2∵∠DBP＝∠DBC， ∴∠DAC＝∠DBP， 又已知BP＝AB， ∴BP＝AC，

∴△DBP≌△DAC（SAS）， ∴∠P＝∠ACD＝30°． 【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角形 全等时，关键是选择恰当的判定条件． 举一反三：

【变式】（2015•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）

A．25° C． 35° D． 40° 【答案】B．

解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，

分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C，

∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB， ∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD， ∵△PMN周长的最小值是5cm， ∴PM+PN+MN=5， ∴DM+CN+MN=5， 即CD=5=OP， ∴OC=OD=CD，

即△OCD是等边三角形， ∴∠COD=60°， ∴∠AOB=30°； 故选：B．

B． 30°

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知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1. （2015•河北）一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）

北师大版七年级下册数学

A． B． C．D． 2．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（ ） A.形内 B.形外 C.斜边的中点 D.不能确定 3. 以下叙述中不正确的是（ ）

A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线

B．其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形

D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等

4．下列条件①有一个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中

线重合的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．能判定三角形为等边三角形的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E, 且AB＝ BC，则下列结论中错误的是（ ） ．． A．BD⊥AC B．∠A＝∠EDA C．BC＝2AD D．BE＝ED

6. 如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（ ）

A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

7.下列说法中不正确的是（ ）

A.等边三角形是轴对称图形

B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称 C.若△ABC≌△A1B1C1 ,则这两个三角形一定关于一条直线对称

D.直线MN是线段AB的垂直平分线，若P点使PA＝PB，则点P在MN上，若PA1PB1，

则P1不在MN上

8．如图所示,Rt△ABC中，∠C＝90°,AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B＝30°时，图中不一定相等的线段有（ ）

A．AC＝AE＝BE B．AD＝BD C．CD＝DE D．AC＝BD

二.填空题

9. 如图，O是 △ABC内一点，且 OA＝OB＝OC，若∠OBA＝20°,∠OCB＝30°，则∠OAC＝_________.

10. （2014春•苏州期末）如图，将一个等腰三角形（底角大于60°）沿对称轴对折后，剪掉一个60°的角，展开后得到如图的形状，若∠ABD=15°，则∠A= ．

11. 如图，△ABC中，∠C＝90°，D是CB上一点，且DA＝DB＝4，∠B＝15°,则AC的

长为 ．

12. 在△ABC中，AB＝AC，若∠A－∠B＝30°则∠A＝________， ∠B＝________.

13. 点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在

B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80º，则∠CEG＝ ．

14．（2016•薛城区一模）一个汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码______． 15. 等腰三角形的两边长分别为10cm，6cm，则它的周长为_________.

16. 三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，将纸片的一角折叠，使点C•落在△ABC

内，如图所示∠1＝30°，则∠2＝_______．

三.解答题

17. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到

M、N两点的距离也相等.

18. （2015春•绿园区期末）如图1是3×3的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，（要求：绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图2中的四幅图就视为同一种图案），请在图3中的四幅图中完成你的设计．

19．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，•

且AB＝AE，AC＝AD，求证：∠DBC＝

1∠DAB． 2

20．（2015秋•蓬江区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】C． 2. 【答案】C；

【解析】直角三角形斜边的中点到三顶点的距离相等. 3. 【答案】Ｃ；

【解析】等腰三角形还有钝角三角形和直角三角形． 4. 【答案】Ｂ；

【解析】②④均能判定三角形为等边三角形. 5. 【答案】C；

【解析】因为BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，所以∠EBD＝∠DBC＝∠EDB，故

B、D成立，由等腰三角形三线合一的性质知A成立.

6. 【答案】A；

【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝

∠EAC，故△CEF为等腰三角形.

7. 【答案】C；

【解析】全等的两个三角形不一定关于一条直线对称. 8. 【答案】D；

【解析】由角平分线的性质结合∠B＝30°，可知A、B、C均成立. 二.填空题

9. 【答案】40°；

【解析】△AOB与△BOC与△AOC均为等腰三角形,∠OAC＝

1802（2030）＝

240°.

10.【答案】30°．

【解析】连接AD，由题意可得出：∠ACD=∠B=15°，∠BDC=60°，则

∠ADB+∠ADC=360°﹣60°=300°，∵∠B+∠BAC+∠ADB+∠ADC+∠C=360°，∴∠BAC=360°﹣300°﹣15°﹣15°=30°．

11.【答案】2；

【解析】∠ADC＝30°，AC1AD2. 212.【答案】 80°，50°；

【解析】∠A－∠B＝30°，∠A＋2∠B＝180°，解方程组得∠A＝80°，∠B＝50°. 13.【答案】40°； 【解析】∠BDE＝

1808050，∠BED＝∠DEG＝180°－50°－60°＝70°，所2以∠CEG＝40°.

14.【答案】M17936

【解析】只需将倒影沿垂直旋转180°即可，因此该车的牌照号码为：M17936. 15.【答案】 26cm或22cm ；

【解析】没有指明腰和底边，要分类讨论. 16.【答案】50°；

【解析】∠C＝40°，根据折叠图形对应角相等及三角形内角和定理，∠2＝50°. 三.解答题 17.【解析】

MN的中垂线与∠AOB 的平分线的交点即为所求；如图所示：

18.【解析】 解：如图所示．

19.【解析】

证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠CAB

在△DAE和△CAB中，

ADAC, DAECAB,

AEAB, ∴△DAE≌△CAB（SAS）， ∴∠BDA＝∠ACB， 又∵∠AED＝∠CEB，

∴∠ADE＋∠AED＝∠ACB＋∠CEB， ∵∠DAE＝180°－（∠ADE＋∠AED），∠DBC＝180°－（∠ACB＋∠CEB）， ∴∠DAE＝∠DBC， ∵∠DAE＝

1∠DAB， 2∴∠DBC＝

1∠DAB． 220．【解析】 （1）

证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB， 在△DBE和△CEF中

，

∴△DBE≌△CEF， ∴DE=EF，

∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△CEF，

∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠B=（180°﹣40°）=70° ∴∠1+∠2=110° ∴∠3+∠2=110° ∴∠DEF=70°

北师大版七年级下册数学

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知识点梳理及重点题型巩固练习

随机事件与概率--知识讲解

【学习目标】

1、感受生活中的随机现象，并体会不确定事件发生的可能性大小； 2、通过试验感受不确定事件发生的频率的稳定性，理解概率的意义. 【要点梳理】

要点一、确定事件与不确定事件

1.确定事件

在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件

也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 要点诠释：

要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.

要点二、频率与概率

1.频率与概率的定义

频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值频率.

无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.

概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即2.频率与概率的关系

事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 要点诠释：

①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即

，其中P(必 .

m称为事件A发生的n然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.

②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 【典型例题】

类型一、确定事件与不确定事件

1.指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？ ① 若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c； ② 没有空气，动物也能生存下去； ③ 在标准大气压下，水在 90℃时沸腾； ④ 直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)； ⑤ 某一天内电话收到的呼叫次数为 0；

⑥ 一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.

【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是不确定事件. 【总结升华】准确掌握定义，依据定义进行判别. 举一反三

【变式1】（2016•凉山州模拟）下列事件中不是随机事件的是（ ） A．打开电视机正好在播放广告

B．从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球 C．从课本中任意拿一本书正好拿到数学书

D．明天太阳会从西方升起 【答案】D．

解：A、打开电视机正好在播放广告是随机事件，选项错误；

B、从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球，是随机事件，选项错误； C、从课本中任意拿一本书正好拿到数学书，是随机事件，选项错误； D、明天太阳会从西方升起是不可能事件，不是随机事件，选项正确． 故选D．

【变式2】下列说法中，正确的是( )．

A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生； B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件；

C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生； D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生. 【答案】C.

2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？ (1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；

(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；

(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球； (2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；

(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球. 【总结升华】要掌握三种事件的区别与联系. 举一反三

【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.

【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.

类型二、频率与概率

3. （2015•阜新）为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为 个．

【思路点拨】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【答案】20．

【解析】解：设暗箱里白球的数量是n，则根据题意得：解得：n=20， 故答案为：20．

=0.2，

【总结升华】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．

4. 如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大？为什么？

【答案与解析】落在黄色区域的可能性大. 理由如下：

由图可知：黄色占整个转盘面积的 红色占整个转盘面积的 蓝色占整个转盘面积的

； .

；

由于黄色所占比例最大，所以，指针落在黄色区域的可能性较大.

【总结升华】计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的不同条件确定解法，如面积法、数值法等.

5. 某篮球运动员在近几场大赛中罚球投篮的结果如下：

投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6 8 9 7 12 7 进球频率m n (1)计算表中各场次比赛进球的频率； (2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少?

【思路点拨】计算出每次的频率值，看频率稳定在哪个值附近，这个值就约等于概率. 【答案与解析】 （1）

投篮次数n 进球次数m 进球频率8 6 10 8 12 9 9 7 16 12 10 7 m 0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 n(2)P(进球)≈0.75. 【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三

【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ) 击中靶心频率() 9 19 44 91 178 451 (1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)； (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？ 【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】 一、选择题

1. 下列说法正确的是( )．

A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次．其中，抛掷出5点的次数最多，则第2001次一定抛掷出5点.

B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖

C．天气预报说：明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半时间在下雨 D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

2. （2015•徐州）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球 C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球 3.下列说法正确的是( )

A.可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生 B.可能性很小的事件在一次试验中一定发生 C.可能性很小的事件在一次试验中有可能发生 D.不可能事件在一次试验中也可能发生

4. 在不透明的袋中装有除颜色外，其余均相同的红球和黑球各一个，从中摸出一个球恰为红球的概率与一枚均匀硬币抛起后落地时正面朝上的概率的大小关系是( ) A．摸出红球的概率大于硬币正面朝上的概率 B．摸出红球的概率小于硬币正面朝上的概率 C．相等

D．不能确定

5.下列说法正确的是( )

A.抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1

B.“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业

C.一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1%，所以从袋中

取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)

D.抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50%，所以投掷硬币两次，那么一次出现正

北师大版七年级下册数学

面，一次出现反面.

6. 下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等.四位同学各自发表了下述见解：

甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形； 乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在 6号扇形；

丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；

丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在 6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大.其中，你认为正确的见解有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二. 填空题

7. 夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩 ____________（填“可能”，“不可能”，“必然”）是优秀．

8. 判断下列事件的类型：(必然事件，随机事件，不可能事件) (1)掷骰子试验，出现的点数不大于6．_____________ (2)抽签试验中，抽到的序号大于0．_____________ (3)抽签试验中，抽到的序号是0．____________ (4)掷骰子试验，出现的点数是7．_____________ (5)任意抛掷一枚硬币，“正面向上”．_____________ (6)在上午八点拨打查号台114，“线路能接通”． __________ (7)度量五边形外角和，结果是720度．________________

9. （2015•潍坊模拟）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有 个．

10．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1 000 2 000 5 000 发芽种子粒数 发芽频率 85 0.850 398 0.745 652 0.851 793 0.793 1 604 0.802 4 005 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 （精确到0.1）． 11. 掷一枚均匀的骰子，2点向上的概率是_______，7点向上的概率是_______．

12. 下面4个说法中，正确的个数为_______． (1)“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大．

(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”． (3)小李说“这次考试我得90分以上的概率是200%”．

(4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小． 三.综合题

13. 下表是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率 抛掷结果 5次 50次 300次 800次 3200次 出现正面的频数 出现正面的频率 1 20% 31 62% 135 45% 408 51% 1580 49.4% 6000次 2980 49.7% 9999次 5006 50.1% (1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到一次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次后，得到______次反面，反面出现的频率是______.

(2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到_____次正面，正面出现的频率是_____；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到_____次反面，反面出现的频率是______

(3)请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是_______.

14. （2015春•雅安期末）如图是小明和小颖共同设计的自由转动的十等分转盘，上面写有10个有理数．

（1）求转得正数的概率． （2）求转得偶数的概率．

（3）求转得绝对值小于6的数的概率．

15. 一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．

(1)求摸出1个球是白球的概率；

(2)现在再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为值．

，求n的

【答案与解析】

一、选择题 1．【答案】D. 2.【答案】A.

【解析】一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．故选A．

3．【答案】C. 4．【答案】C.

【解析】两种情况的概率均为50%. 5．【答案】B.

6．【答案】A.

【解析】只有丙是正确的，指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率都是50%.

二、填空题 7. 【答案】可能. 【解析】夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩不能

确定，是随机事件．

8．【答案】必然事件；必然事件；不可能事件；不可能事件；随机事件；随机事件；

不可能事件.

9.【答案】12.

【解析】设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%，∴

=，解得：x=12，故白球的个数为12个．故答案为：12．

10.【答案】0.8；

【解析】随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在概率附近. 11.【答案】

1；0. 612.【答案】0.

【解析】(1)中即使概率是99%，很大了，但是仍然有不是红球的可能，所以错误；

(2) 因为有三个球，机会相等，所以概率应该是(3) 概率的取值范围是． (4) 应该是取出一只红球的可能性不存在． 三、 解答题

13.【解析】① 4；80%；

② 5006；50.1%；4993；49.9%； ③ 14. 【解析】

解：（1）P（转得正数）= （2）P（转得偶数）=

=； =；

=．

1； 31. 2 （3）P（转得绝对值小于6的数）=

15.【解析】(1)；

(2)由题意得

， ∴

经检验，n＝4是方程的根，且符合题意．