巧用数学思想方法解决数学问题

《义务教育数学标准》由2001年版的“两基”（基础知识、基本技能）提升到2011年版的“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。随着新课程改革的不断深入，人们越来越清楚地认识到：数学教育要落实新课程改革理念，就应体现其发展性，为学生的持续学习、终身学习做准备。为此，数学教育提供给学生的不应只是知识和技能，更重要的是让学生在获取知识的过程中学会数学思想方法。现代数学教学论认为，数学思想方法是学生形成良好认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁，是培养学生数学意识（观念）、形成优良思维素质的关键。如果说数学问题是数学的“心脏”、方法是数学的“行为准则”、知识是数学的“躯体”，那么数学思想无疑就是数学的“灵魂”。

数学思想方法既含有思想，又含有方法。数学思想就是人们对数学知识和数学方法的本质认识，是数学知识与数学方法的高度抽象与概括，是对数学规律的理性认识，是数学教学的“灵魂”。数学方法则是在数学研究活动中解决数学问题的具体途径、手段和方式的总和，是数学教学的“行为规则”。数学思想与教学方法，既有联系，又有区别。思想是方法的升华，方法是思想的体现。运用数学方法解决数学问题的过程就是感性认识不断提高积累的过程。当这种积累达到一定程度时就产生飞跃，从而上升为数学思想。数学思想反过来又对数学方法起着指导作用。

在小学数学中，许多数学思想和方法往往是一致的，如分类思想和分类方法，化归思想和化归法等。没有不含方法的数学思

- 1 -

想，也没有不以数学思想为指导的数学方法。因此，我们可以把小学数学思想和方法视为一体——数学思想方法。

小学数学思想方法包括集合思想、函数思想、统计思想、代数思想、统计思想、代数思想、极限思想、优化思想、分类思想、归纳思想、演绎思想、类比思想、对应思想、变换思想、化归思想、数形结合思想等。在数学教学中巧妙运用数学思想方法解决数学问题，可以起到事半功倍的效果。

【案例】小明手上的钱可以买5支钢笔或9支圆珠笔，已知每支钢笔比每支圆珠笔贵3.6元。每支钢笔和每支圆珠笔各是多少元？

对于这道题，我们可以引导学生运用一下几种思路进行分析解答：

1、假设思路

解法一：假设小明只买5支圆珠笔，即少买（9-5=）4支圆珠笔，则他手上的钱应该还剩（3.6×5=）18元，这18元就是4支圆珠笔的价钱。由此，即可求出每支圆珠笔的价钱是18÷4=4.5元；每支钢笔的价钱是4.5+3.6=8.1元。

解法二：假设小明买9支钢笔，即多买了（9-5=）4支钢笔，则他手上的钱应该还差（3.6×4=）32.4元，这32.4元就是4支钢笔的价钱。由此，即可求出每支钢笔的价钱是32.4÷4=8.1元；每支圆珠笔的价钱是8.1-3.6=4.5元。

根据需要，对题目的条件或问题作出某种假设，比如，将题中某一未知数假设为一个具体数，然后结合其他已知条件进行推理、运算，进而求出最后结果的解题方法就是假设推理法。假设推理法是一种充满想象、手法巧妙、且富有趣味的思想方法。运

- 2 -

用假设推理法解题一般有以下三个步骤：（1）作出初始假设；（2）经过调整作出新的判断；（3）获得结论。初始假设并非胡乱猜想，而是根据题目条件与问题及生活情理等提供的信息作出合理而可行的假设，并且能够有利于后面进行调整。

（2）化归思想

解法三：由题意得知，小明手上的钱是一定的，根据总价一定，单价和数量成反比例，可以求出每支圆珠笔和每支钢笔价钱的比是5:9，这样，就可把这个问题化归成比例分配问题来解。不难求出每支钢笔的价钱是3.6÷（9-5）×9=8.1元；每支圆珠笔的价钱是3.6÷（9-5）×5=4.5元。

解法四：由解法三可知，每支钢笔的价钱是每支圆珠笔价钱的9÷5=1.8倍。这样，又可把这个问题化归成倍数问题来解。容易求出每支圆珠笔的价钱是3.6÷（1.8-1）=4.5元；每支钢笔的价钱是4.5+3.6=8.1元。

解法五：由解法三可知，每支圆珠笔的价钱是每支钢笔价钱的5÷9=5/9。这样，还可把这个问题化归成分数问题来解。容易求出每支钢笔的价钱是3.6÷（1-5/9）=8.1元；每支圆珠笔的价钱是8.1-3.6=4.5元。

化归是转化与归结的意思，把有待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决，这就是化归思想。

一切数学问题的解决过程总是将未知的新问题，不断转化成已知的旧问题的过程，这是解决数学问题的基本策略。化归思想的基本形式有：化生为熟、化难为易、化繁为简、化隐为显、化曲为直等。

- 3 -

（3）对应思路

解法六：把小明手上的钱看作单位“1”，则每支钢笔的价钱是1/5，每支圆珠笔的价钱是1/9，每支钢笔比每支圆珠笔贵（1/5-1/9），这就是3.6元的对应分率。这样既可求出小明手上的钱有3.6÷（1/5-1/9）=40.5元。进而可求出每支钢笔的价钱是40.5÷5=8.1元，每支圆珠笔的价钱是40.5÷9=4.5元。

对应思想是指人的思维对两个集合元素之间相互联系的把握，它是集合论的最有力的研究工具，离开对应，集合论就难以启动，许多具体的数学方法都来源于对应思想。对应思想的作用在于分析问题，发现规律，解决问题。

（4）代数思路

解法七：设每支钢笔的价钱是x元，则每支圆珠笔的价钱是（x-3.6）元，根据题意可列方程：5x=9（x-3.6）。

解得，x=8.1.

当然还可以设每支圆珠笔的价钱是x元。

代数思想，就是运用字母或“□”、“○”等符号代替数进行思考的思想方法。用字母（或符号）表示数是为了更深刻地发掘数学规律，更准确、简洁地表达数学规律。可以想象，没有字母代数的思想，代数学乃至整个数学的现代化将是不可能的。

小学数学教学渗透代数思想和方法有利于学生系统掌握知识和将来的进一步学习，是研究和掌握一般方法的一种手段，也是使学生从简单认识上升到理性认识的一种标志。

上述的每一种解题思路就是一种数学思想方法，学生每掌握一种解题思路，就等于受到了一次数学思想方法的教育。

- 4 -