新人教版九年级数学第一轮总复习教案[1](1)

【考点链接】 一、有理数的意义

1．数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应. 2．实数a的相反数为________. 若a，b互为相反数，则ab= . 3．非零实数a的倒数为______. 若a，b互为倒数，则ab= . 4．绝对值

在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。即一个正数的绝对值等于它 ；0的绝对值是 ；负数的绝对值是它的 。 a ( a>0 )

即│a│= 0 ( a=0 ) -a ( a<0 )

5．科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤a＜10的数，n是整数. 6．一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从 左边第一个不是 的数起，到 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字． 二、实数的分类 1．按定义分类

正整数 整数 零 自然数 有理数 负整数 正分数

分数 有限小数或无限循环小数 实数 负分数 正无理数

无理数 无限不循环小数

负无理数 2．按正负分类

正整数 正有理数

正实数 正分数 正无理数

实数 零（既不是正数也不是负数） 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数 【河北三年中考试题】

1．(2008年，2分) 8的倒数是（ ） A．8

B．8

C．

1 82．（2008年，3分）若m，n互为相反数，则5m5n5 ．

D．3.（2009年，3分）若m、n互为倒数，则mn2(n1)的值为 ．

1 84．（2009年，3分）据中国科学院统计，到今年5月，我国已经成为世界第四风力发电大国，年发电量约为12 000 000千瓦．12 000 000用科学记数法表示为 ． 5．（2010年，3分）5的相反数是 ．

6．（2010年，3分）如图7，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，

数为1，则点B所对应的数为 ．

D A 0 图7

C B CD = 6，点A对应的

课时2. 实数的运算与大小比较

【考点链接】 一、实数的运算

1．实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、 、 六种，其中减法转化为 运算，除法、乘方都转化为 运算。

2. 数的乘方 a ，其中a叫做 ，n叫做 . 3. a （其中a 0 且a是 ）a0pn （其中a 0）

4. 实数运算 先算 ，再算 ，最后算 ；如果有括号，先算

里面的，同一级运算按照从 到 的顺序依次进行. 二、实数的大小比较

1．数轴上两个点表示的数， 的点表示的数总比 的点表示的数大.

2．正数 0，负数 0，正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的 绝对值小的． 3．实数大小比较的特殊方法

⑴设a、b是任意两个数，若a-b>0，则a b；若a-b=0，则a b，若a-b<0，则 a b.

⑵平方法：如3>2，则3 2； ⑶商比较法：已知a>0、b>0，若⑷近似估算法 ⑸找中间值法

4．n个非负数的和为0，则这n个非负数同时为0.

2例如：若a+b+c=0，则a=b=c=0.

aaa>1，则a b；若=1，则a b；若<1，则a b. bbb【河北三年中考试题】

1.（2009年，3分）比较大小：－6 －8．（填“＜”、“=”或“＞”） 2.（2009年，2分）(1)等于（ ）

A．－1 B．1 C．－3

3.（2010年，2分）计算3×(2) 的结果是

A．5

B．5

C．6

D．3 D．6

3课时3．整式及其运算

【考点链接】

1. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示 连

接而成的式子叫做代数式.

2. 代数式的值：用 代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的 叫做

代数式的值. 3. 整式

（1）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数. (2) 多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做 . (3) 整式： 与 统称整式.

4. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫做同类项. 合并同类

项的法则是 相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数 。

mnmnmnn

5. 幂的运算性质: a·a= ； (a)= ； a÷a＝_____； (ab)= . 6. 乘法公式：

(1) (ab)(cd) ； （2）（a＋b）(a－b)＝ ；

(3) (a＋b)＝ ；(4)(a－b)＝ . 7. 整式的除法

⑴ 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除武里含有的

字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．

⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把所得的商 ． 【河北三年中考试题】

1．(2008年，2分) 计算a3a的结果是（ ） A．3a

2222

2

B．4a

2C．3a

4D．4a

42.（2009年，2分）下列运算中，正确的是（ ）

A．4mm3

B．(mn)mn

3 C．D．m2m2m （m2）m6

3．(2010年，2分) 下列计算中，正确的是

A．200 B．aaa2

C．93

D．(a)a

326课时4．因式分解

【考点链接】

1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为

止．

2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ，

⑶ ，⑷ .

3. 提公因式法：mambmc__________ _________.

4. 公式法: ⑴ ab ⑵ a2abb ， ⑶a2abb . 5. 十字相乘法：xpqxpq ．

22222226．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“套”（公式）． 7．易错知识辨析

（1）注意因式分解与整式乘法的区别；

（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式. 【河北三年中考试题】

课时5．分式

【考点链接】

AA

1. 分式：整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有 ，那么称 为分式．若 ，

BB

AAA

则 有意义；若 ，则 无意义；若 ，则 ＝0.

BBB

2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ．用式子表示为 .

3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分．

4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分. 5．约分的关键是确定分式的分子与分母的 ；通分的关键是确定n个分式的 。

6．分式的运算（用字母表示）

⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： . ② 异分母的分式相加减： . ⑵ 乘法法则： .乘方法则： . ⑶ 除法法则： . 【河北三年中考试题】

1.（2008年，3分）当x 时，分式

3无意义． x121x2x12.（2008年，7分）已知x2，求1的值．

xxa2b213.（2009年，8分）已知a = 2，b1，求12÷的值．

aabaa2b24.（2010年，2分）化简的结果是 ababA．a2b2

B．ab

C．ab

D．1

课时6．二次根式

【考点链接】

一、平方根、算术平方根、立方根

2

1．若x=a（a 0），则x叫做a的 ，记作±a； 叫做算数平方根，记作 。

2．平方根有以下性质：

①正数有两个平方根，他们互为 ； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根。

3

3．如果x=a，那么x叫做a的立方根，记作3a。

二、二次根式

1．二次根式的有关概念

⑴ 式子a(a0) 叫做二次根式．注意被开方数a只能是 ．并且根式.

⑵ 简二次根式

被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式． (3) 同类二次根式

化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质

⑴ a 0（a≥0）； ⑵

a2 （a≥0） ⑶ a2 ；

a （a≥0,b＞0）. b ⑷ ab （a≥0, b≥0）； ⑸

3．二次根式的运算

(1) 二次根式的加减：

①先把各个二次根式化成 ；

②再把 分别合并，合并时，仅合并 ， 不变. (2) 二次根式的乘除法

二次根式的运算结果一定要化成 。 【河北三年中考试题】

1.（2009年，2分）在实数范围内，x有意义，则x的取值范围是（ ） A．x ≥0 B．x ≤0 C．x ＞0 D．x ＜0

第二章 方程（组）与不等式（组）

课时7．一次方程及方程组

【考点链接】

一、等式与方程的有关概念

1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果ab，那么ac ；

② 如果ab，那么ac ；

如果abc0，那么

a . c2. 方程、一元一次方程的概念

⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程 的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.

⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系

数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 a0. 3. 解一元一次方程的步骤：

①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1. 二、二元一次方程（组）及解法

1．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程.

2. 二元一次方程组：由2个或2个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组.

3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解.

4．二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程的方法步骤： 消元

二元一次方程组 方程.

转化 消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种. 6．易错知识辨析：

（1）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘 以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏 乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.

（2）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；

（3）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值； （4）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号. 【河北三年中考试题】

1.（2008年，3分）图8所示的两架天平保持平衡，且每块

巧克力 巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块 巧克力的质量是 g．

果冻 2.（2009年，3分）如图9，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中 50g砝码 1加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露 3图8 1出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55 cm， 5此时木桶中水的深度是 cm．

图9 12张．设所用的1元纸币为x3.（2010年，2分）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共

张，根据题意，下面所列方程正确的是

A．x5(12x)48 B．x5(x12)48 C．x12(x5)48 D．5x(12x)48

课时8．一元二次方程及其应用

【考点链接】

1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中

叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.

2. 一元二次方程的常用解法：

（1）直接开平方法：形如xa(a0)或(xb)a(a0)的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法.

（2）配方法：用配方法解一元二次方程axbxcoa0的一般步骤是：①化二

222次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项， 右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为

(xm)2n的形式，⑤如果是非负数，即n0，就可以用直接开平方求出方程的解.

如果n＜0，则原方程无解.

（3）公式法：一元二次方程axbxc0(a0)的求根公式是

2x1,2bb24ac2(b4ac0).

2a（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.

3. 一元二次方程根的判别式：

关于x的一元二次方程axbxc0a0的根的判别式为 . 222（1）b4ac>0一元二次方程axbxc0a0有两个 实数根，即x1,2 . （2）b4ac=0一元二次方程有 相等的实数根，即x1x2 . 2（3）b4ac<0一元二次方程axbxc0a0 实数根.

224． 一元二次方程根与系数的关系

若关于x的一元二次方程axbxc0(a0)有两根分别为x1，x2，那么x1x2 ，x1x2 . 5．列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、找、设、列、解、答六步。 【河北三年中考试题】

1.（2008年，2分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A．3000(1x)5000 C．3000(1x％)5000

222B．3000x5000

D．3000(1x)3000(1x)5000

222.（2010年，3分）已知x = 1是一元二次方程x2mxn0的一个根，则 m22mnn2的值为 ．

课时9．分式方程及其应用

【考点链接】

1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤：

（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；

（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.

3. 用换元法解分式方程的一般步骤：

① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答. 4．分式方程的应用：

分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：

（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . 5．列分式方程解应用题中常用的数量关系及题型 （1）数字问题（包括日历中的数字规律）

①设个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，则这个三位数是 ； ②日历中前后两日差 ，上下两日差 。 （2）体积变化问题。 （3）打折销售问题

①利润= -成本； ②利润率= ×100％. （4）行程问题。 （5）教育储蓄问题

①利息= ； ②本息和= =本金×（1+利润×期数）； ③利息税= ； ④贷款利息=贷款数额×利率×期数。 6．易错知识辨析：

（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项. （2） 解分式方程的重要步骤是检验。 【河北三年中考试题】 1.（2010年，8分）解方程：

12． x1x1课时10．一元一次不等式(组)

【考点链接】

1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质：

（1）若a＜b，则a+c bc；

ab ）； ccab（3）若a＞b，c＜0则ac bc（或 ）.

cc（2）若a＞b，c＞0则ac bc（或

3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或axb；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1.

4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组.

一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知ab）

xaxaxa的解集是，即“小小取小”；的解集是xb，即“大大取大”； xbxb

xa的解集是axb，即“大小小大中间找”； xbxa的解集是空集，即“大大小小取不了”. xb

6．求不等式（组）的特殊解：

不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. 7．易错知识辨析：

（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义. （2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式axb（或axb）（a0）的形式的解集：

bb（或x） aabb当a0时，x（或x）

aa当a0时，x【河北三年中考试题】

1.（2008年，2分）把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图1所示，

则这个不等式组可能是（ ）

x4，A．

x≤1x4，B．

x≥1x4，C．

x10 ，x≤4D． 图1

x14 2.（2010年，2分）把不等式2x< 4的解集表示在数轴上，正确的是（ ）

-2 0 A

0 2 第三章B 函数及其图像

0 课时11. 平面直角坐标系与函数的概念 -2 0 2 D C

【考点链接】

1. 坐标平面内的点与______________一一对应． 2. 根据点所在位置填表（图） 点的位置 横坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 纵坐标符号 第四象限 3. x轴上的点______坐标为0, y轴上的点______坐标为0.

4．各象限角平分线上的点的坐标特征

⑴第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标 。 ⑵第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标 。

5. P(x,y)关于x轴对称的点坐标为__________，关于y轴对称的点坐标为________， 关于原点对称的点坐标为___________. 以上特征可归纳为：

⑴关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标 ； ⑵关于y轴对称的两点：横坐标 ，纵坐标相同； ⑶关于原点对称的两点：横、纵坐标均 。

6. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________． 7. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________．

8. 求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义。 ⑴自变量以整式形式出现，它的取值范围是 ； ⑵自变量以分式形式出现，它的取值范围是 ； ⑶自变量以根式形式出现，它的取值范围是 ； 例如：yx有意义，则自变量x的取值范围是 .

y1有意义，则自变量x的取值范围是 。 x【河北三年中考试题】

1.（2008年，2分）如图4，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ） x y y y D 100 6所示的计算程序中，100 100 A 2.（2009年，2分）如图y与x之间的函数关系 所对应的图象应为（ ） x x y B O O O O 10 10 5 10 10 4 x 图4 ×2 A． 4 B． C． D． 3.（2010年，2分）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为

y C y y 100 y 输入x x x 取相反数 5 kmO 2 2 ＋4 O O x - 2 O -2 /h．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从x x 甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程为s（km），则s与t的函数图象大致是（ ） - 4 - 4 s s s s 输出y 课O A B C D 图6 时12. 一次函数

【考点链接】

1．正比例函数的一般t A B C

形式是__________．一次函数的一般形式是__________________.

t O t O t O D

2. 一次函数ykxb的图象是经过 和 两点的一条 . 3. 求一次函数的解析式的方法是 ，其基本步骤是：⑴ ； ⑵ ； ⑶ ；⑷ . 4.一次函数ykxb的图象与性质 k、b的符号 k＞0b＞0 k＞0 b＜0 k＜0 b＞0 k＜0b＜0 图像的大致位置 经过象限 性质 第 象限 5. 一次函数ykxb的性质

第 象限 第 象限 y随x的增大而 第 象限 y随x的增大而 y随x的增大 y随x的增大而 而 k＞0直线上升y

随x的增大而 ；

k＜0直线下降y随x的增大而 . 【河北三年中考试题】

1.（2008年，8分）如图11，直线l1的解析表达式为y3x3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C． （1）求点D的坐标； （2）求直线l2的解析表达式； （3）求△ADC的面积；

（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得

写出点P的坐标． △ADP与△ADC的面积相等，请直接．．

图块，11 A型板材规格是60 cm×2.（2009年，12分）某公司装修需用A型板材240块、B型板材18030 cm，B型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图）

A型板材块数 B型板材块数 裁法一 1 2 裁法二 2 m 裁法三 0 n A 60 单位：cm 30 l1 y l2 D 3 A （4，0） B C O x 设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用． （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；

（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，

并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？

150 B B 40 40 课时13．反比例函数

图15

【考点链接】

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝ 或 （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质

k的符号 k＞0 y 图像的大致位置 o x k＜0 y o x 经过象限 性质 第 象限 在每一象限内y随x的增大而 第 象限 在每一象限内y随x的增大而 3．k的几何含义：反比例函数y＝

k (k≠0)中比例xk (k≠0)上任意x系数k的几何意义，即过双曲线y＝

一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为 .

【河北三年中考试题】

1.（2008年，3分）点P(2m31)，在反比例函数y2.（2009年，2分）反比例函数y1

的图象上，则m ． x

y 1（x＞0）的图象如图3所示， x随着x值的增大，y值（ ） A．增大 B．减小 O x C．不变 D．先减小后增大

3.（2010年，9分）如图13，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标图3 轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．

（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；

（2）若反比例函数ym（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否x在该函数的图象上；

（3）若反比例函数ym（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围． ．．x课时14．二次函数及其图像 【考点链接】 1. 二次函数ya(xh)k的图像和性质 2y D A M B N a＞0 O 图13 C E x a＜0 y 图 象 O x 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 增 减 性 在对称轴左侧 在对称轴右侧 当x＝ 时，y有最 值 y随x的增大而 y随x的增大而 2 当x＝ 时，y有最 值 y 随x的增大而 y随x的增大而 22. 二次函数yaxbxc用配方法可化成yaxhk的形式，其中

h＝ ，k＝ .

3. 二次函数ya(xh)k的图像和yax图像的关系.

224. 常用二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： 。 5. 顶点式的几种特殊形式.

⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .

b24acb2)6．二次函数yaxbxc通过配方可得ya(x，其抛物线关于直线x 对称，顶点2a4a2坐标为（ ， ）.

⑴ 当a0时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当

x 时，y有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当a0时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当

x 时，y有最 （“大”或“小”）值是 ． 【河北三年中考试题】

1.（2009年，9分）已知抛物线yax2bx经过点A(3，，且t ≠ 0． 3)和点P （t，0）（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，

请通过观察图象，指出此时y的最小值， 并写出t的值；

（2）若t4，求a、b的值，并指出此时抛

物线的开口方向；

（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值． ．．2.（2010年，2分）如图5，已知抛物线yx2bxc的轴为x2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ） A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）

A P - 3 O - 3 y x 对称 行，其

y A x = 2 图12 B 课时15．函数的综合应用

【考点链接】

2O 图5

x 1．点Ax0,yo在函数yaxbxc的图像上.则有 . 2. 求函数ykxb与x轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y轴的交点纵坐标，即令 ，求y值

3. 求一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yaxbxca0的图像的交点，解方程

2组 .

b24acb2)4．二次函数yaxbxc通过配方可得ya(x， 2a4a2⑴ 当a0时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当

x 时，y有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当a0时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当

x 时，y有最 （“大”或“小”）值是 ．

5. 每件商品的利润P = － ；商品的总利润Q = × .

2

6. 函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成y=a（x+h）+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了”。 7. 二次函数yaxbxc的图像特征与a,b,c及的符号的确定.

二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点, 它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

2 注意：当x=1时，y=a+b+c；当x=-1时，y=a-b+c。若a+b+c＞0，即x=1时，y＞0;

若a-b+c＞0，即x=-1时，y＞0。 8．函数的综合应用

⑴利用一次函数图像解决求一次方程、一次不等式的解、比较大小等问题。

⑵利用二次函数图像、反比例函数图像解决求二次方程、分式方程、分式不等式的解、比较大小等问题。 ⑶利用数形结合的思路，借助函数的图像和性质，形象直观的解决有关不等式最大（小）值、方程的解以及图形的位置关系等问题。

⑷利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式来解决抛物线与x轴交点的问题。 ⑸通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性。

⑹建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否相符合。

⑺综合运用函数只是，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数。

【河北三年中考试题】

1.（2008年，12分）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y12x5x90，10投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲，p乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）

（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，p甲并求年利润w甲（万元）与x之间的函数关系式； （2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，p乙1x14，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，201，且在乙地当年的最大年利润为35万xn（n为常数）

10元．试确定n的值；

（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？

b4acb2，参考公式：抛物线yaxbxc(a0)的顶点坐标是． 2a4a22.（2010年，12分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =1x＋150，成本为20元/件，无论销100售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳

12

x 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． 100（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；

（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大

值相同，求a的值；

（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使

所获月利润较大？ b4acb2参考公式：抛物线yaxbxc(a0)的顶点坐标是(,)．

2a4a2第四章 统计与概率 课时16. 统计

【考点链接】

1．普查与抽样调查

⑴为一特定目的而对 考察对象作的全面调查叫普查，如普查人口；

⑵为一特定目的而对 考察对象作的全面调查叫抽查，如抽查全市期末考试成绩。 2. 总体是指_________________________，个体是指_____________________， 样本是指________________________，样本的个数叫做___________．

3．平均数的计算公式________________； 加权平均数公式________________________． 4. 中位数是___________________________ ； 众数是_________________________ _． 众数、中位数与平均数是从不同角度来描述一组数据的集中趋势。

5．极差是__________________，方差的计算公式_____________________________． 标准差的计算公式：_________________________．

极差、方差和标准差都是用来衡量一组数据的波动大小，方差（或标准差）越大，说明这组数据的波动 。 6．几种常见的统计图：

⑴条形统计图：用长方形的高来表示数据的图形。特点是：①能够显示每组中的 ；②易于比较数据之

间的差别。

⑵折线统计图：用几条线段连接的折线来表示数据的图形。特点是：易于显示数据的 。

⑶扇形统计图：①用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表 中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占 的大小，这样的统计图叫扇形统计图。②百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与 的比。③扇形的圆心角=360°× 。

⑷频数分布直方图：频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚的反映数据在各个小范围内的 ；绘制步骤是：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数，一般的分5—12组；③确定分点，通常把第一组的起点小半个单位；④列频数分布表；⑤绘制频数分布直方图。 【河北三年中考试题】

1．(2008年，3分) 某班学生理化生实验操作测试成绩的统计结果如下表： 成绩/分 人数 3 1 4 1 5 2 6 2 7 8 8 9 9 15 10 12 则这些学生成绩的众数为 ．

2．(2008年，8分)某种子培育基地用A，B，C，D四种型号的小麦种子共2 000粒进行发芽实验，从中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验得知，C型号种子的发芽率为95％，根据实验数据绘制了图10-1和图10-2两幅尚不完整的统计图．

（1）D型号种子的粒数是 ； （2）请你将图10-2的统计图补充完整；

（3）通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广；

（4）若将所有已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，求取到B型号发芽种子的概率．

发芽数/粒 各型号种子数的百分比 3．（2010年，9分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． 800 10分）630 A 600 甲校成绩统计表 乙校成绩扇形统计图 470 35% 370 D （1）在图12-1中，“7分”所在扇400 B 分 数 7 分 8 分 9 分 10 分 形的圆心角 C 20% 200 10分 人 数 20% 11 0 8 等于 °． 0 7分 A B C D 型号 （2）请你将图12-2的统计图补充完整． 图10-1 图10-2 72° 9分 54°（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出乙校成绩条形统计图 8分 甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析人数 8 图12-1 哪个学校成绩较好． 8 （4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便6 5 4 4 于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你2 分析，应选哪所学校？ 4．（2009年，3分）在一周内，小明坚持自测体温，结果统计如下表：

体温（℃） 次 数 36.1 2 36.2 3 36.3 4 36.4 6 36.5 3 0 7分 8分 9分 10分 分数 图12-2

每天3次．测量

36.6 1 36.7 2 则这些体温的中位数是 ℃．

5．（2009年，9分）某商店在四个月的试销期内，只销售A、B两个品牌的电视机，共售出400台．试销结束后，只能经销其中的一个品牌，为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图11-1和图11-2．

（1）第四个月销量占总销量的百分比是 ； （2）在图11-2中补全表示B品牌电视机月销量的折线；

（3）为跟踪调查电视机的使用情况，从该商店第四个月售出的电视机中，随机抽取一台，求抽到B品牌电视机的概率；

（4）经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，判断该商店应经销哪个品牌的电视机．

电视机月销量扇形统计图

电视机月销量折线统计图

销量/台 80 A品牌 概率 时17. B品牌 课

第一个月 【考点链接】 第二个月

15% 70 30% 1．事件的分类： 60 必然事件： P=1 50 第四个月 第三个月

确定事件 40 25% 事件 30 不可能事件：P=0 20 0＜P＜1 不确定事件：图11-1

10 E发生的概率P(E)都是0和1之间（也包括0和1）的数，总之，任何事件 0 即0≤P(E)≤1. 第一 第二 第三 第四 时间/月

2．求概率的方法： 图11-2

（1）利用概率的定义直接求概率；

（2）用树形图和________________求概率；

（3）用相乘的方法估计一些随机事件发生的概率． 【河北三年中考试题】

1．（2008年，2分）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）．下列事件中是必然事件的是（ ） A．两枚骰子朝上一面的点数和为6 B．两枚骰子朝上一面的点数和不小于2 C．两枚骰子朝上一面的点数均为偶数 D．两枚骰子朝上一面的点数均为奇数 2．（2009年，2分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A．某个数的绝对值小于0 C．某两个数的和小于0

B．某个数的相反数等于它本身 D．某两个负数的积大于0

3．（2010年，3分）在猜一商品价格的游戏中，参与者事先 不知道该商品的价格，主持人要求他从图8的四张卡片中 任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数， 该数就是他猜的价格．若商品的价格是360元，那么他一 次就能猜中的概率是 ．

3 5 6 图8

0 第五章 图形的认识与三角形 课时18．几何初步及平行线、相交线

【考点链接】

1. 两点确定一条直线，两点之间 最短，即过两点有且只有一条直线。 2. 1周角＝_______，1平角＝_______,1直角＝_______．

3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果_____________________互为

补角，__________________的补角相等.

4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________. 5. 过直线外一点心___________条直线与已知直线平行.

6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补. 7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行. 8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直. 9．线段的垂直平分线：

性质：线段垂直平分线上的到这条线段的 的距离相等； 判定：到线段 的点在线段的垂直平分线上。 10.角的平分线：

性质：角平分线上的点到角 相等； 判定：到角 的点在这个角的平分线上。 【河北三年中考试题】

1．（2008年，3分）如图6，直线a∥b，直线c与a，b 相交．若170， 则2_____．

c

1 2 19．三角形的有关概念图6

a b

课时

【考点链接】

一、三角形的分类：

1．三角形按角分为______________，______________，_____________． 2．三角形按边分为_______________,__________________. 二、三角形的性质：

1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边

2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________． 三、三角形中的主要线段：

1．___________________________________叫三角形的中位线．

2．中位线的性质：____________________________________________． 3．三角形三条中位线将三角形分成四个面积相等的全等三角形。

4．角平分线：三角形的角平分线交于一点，这点叫三角形的内心，它到三角形三边的距离 ，内心也是三角形内切圆的圆心。

5．三角形三边的垂直平分线：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离 ，外心也是三角形外接圆的圆心。

6．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线) 四、等腰三角形的性质与判定：

1. 等腰三角形的两底角__________；

2. 等腰三角形底边上的______、底边上的________和顶角的_______互相重合（三线合一）； 3. 有两个角相等的三角形是_________． 五、等边三角形的性质与判定：

1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；

2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．

六、直角三角形的性质与判定： 1. 直角三角形两锐角________．

2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________． 3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；

4. 勾股定理：_________________________________________．

5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________． 【河北三年中考试题】

1. (2008年，3分) 图9-1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若

，AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图9-2所示的“数学风车”

则这个风车的外围周长是 ．

A A

D B E F C G(N) H 图9-2

图8

A A′ 2. （2009年，3分）如图8，等边△ABC的边长为1 别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点处，且点A在△ABC外部，则阴影部分图形的周cm．

3. （2009年，10分）在图14-1至图14-3中，点B中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN形．AE的中点是M．

（1）如图14-1，点E在AC的延长线上，点N与

点M与点C重合，

求证：FM = MH，FM⊥MH；

（2）将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐

14-2，

求证：△FMH是等腰直角三角形；

B C(M) D E 图14-1

F G N

H

A

B M C

D E cm，D、E分A落在点A 长为 是线段AC的都是正方点G重合时，

图14-2

F

G N C

A B M

D E H

角，得到图

图14-3

（3）将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况，

△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必 说明理由）

4. （2010年，2分）如图1，在△ABC中，D是BC延长线上一点，A ∠B = 40°，∠ACD = 120°， 则∠A等于（ ）

A．60° C．80°

B．70° D．90°

B

40°

图1

120°

D C

课时20．全等三角形和相似三角形

【考点链接】

一、全等三角形：

1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.

2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.

3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.

4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等. 5．证明三角形全等的思路： 找夹角 （1）已知两边 找直角 找

边为角的对边时，找 （2）已知一边一角 找夹角的另一边 边为角的邻边时， 找夹边的 找边的对角 找 （3）已知两角 找任意一边 二、相似三角形：

1．三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．

M

2．相似三角形的判定方法 D ⑴若DE∥BC（A型和X型）则______________．

2

⑵射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ O A B 1 ____．

⑶两个角对应相等的两个三角形__________．

N

⑷两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 图15-1

M D ⑸三边对应成比例的两个三角形___________．

3．相似三角形的性质 2 ⑴相似三角形的对应边_________，对应角________． O B A ⑵相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示． 1 C ⑶相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周

长之比也等于________比，面积比等于_________． N 图15-2

M 【河北三年中考试题】 D 1.（2010年，10分）在图15-1至图15-3中，直线 2 MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD O A

1 C 图15-3

B

N

的数量关系和位置关系；

（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到

图15-2，其中AO = OB． 求证：AC = BD，AC ⊥ BD；

（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到

图15-3，求

BD的值． AC课时21．锐角三角函数和解直角三角形

【考点链接】

一、锐角三角函数

1．sinα，cosα，tanα定义

α sinα＝____，cosα＝_______，tanα＝______ ．

c 2．特殊角三角函数值 b

3．巧记特殊角的三角函数：正弦、余弦分母为2，正切

30° 45° 60° 分母为3，分子是“1,2,3；3,2,1；3,9,27”。

a sinα 二、解直角三角形

1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些cosα _____________叫做解直角三角形．

tanα 2．解直角三角形的类型：

已知____________；已知___________________． 3．如图（1）解直角三角形的公式：

（1）三边关系：__________________． （2）角关系：∠A+∠B＝_____，

（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．

cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．

4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．

5．如图（3）方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________． 6．如图（4）坡度：AB的坡度iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．

B ） （图2（图3） （图4）

【河北三年中考试题】

A 1. （2008年，9分）气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设O

C

为点O）的南偏东45方向的B点生成，测得OB1006km．台风中心从点B以40km/h的速度向正

北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，

台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60方向继续移动．以O为原点建立如图12所示的直角坐标系． （1）台风中心生成点B的坐标为 ，台风中心转折点C的坐标为 ；（结果保留根号） （2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？ ．．2.（2009年，2分）图4是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其 北 y/km 中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线， A ∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点 C上升的高度h是（ ）

8A． 3 m

3O B．4 m 图12 B C 东 x/km150° A B C h D 图4 C．43 m D．8 m

第六章 四边形

课时22．多边形与平行四边形

【考点链接】 一、四边形 1. 四边形有关知识

⑴ n边形的内角和为 ．外角和为 ．

⑵ 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，

外角和增加 ．

⑶ n边形过每一个顶点的对角线有 条，n边形的对角线有 条． 2. 平面图形的镶嵌

⑴ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____________时，就拼成一个平面图形.

⑵ 只用一种正多边形铺满地面，请你写出这样的一种正多边形____________． 3．易错知识辨析

多边形的内角和随边数的增加而增加,但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外角和恒为360 º．

二、平行四边形

1．平行四边形的性质

（1）平行四边形对边______，对角______；角平分线______；邻角______.

（2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______．（填“平行”或“垂直”） （3）平行四边形的面积公式____________________. 2．平行四边形的判定

（1）定义法：两组对边 的四边形是平行四边形. （2）边：两组对边 的四边形是平行四边形；

一组对边 的四边形是平行四边形．

（3）角：两组对角 的四边形是平行四边形． （4）对角线：对角线 的四边形是平行四边形． 【河北三年中考试题】

1.（2010年，2分）如图2，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB = 3， 则□ABCD的周长为（ ）

A．6 C．12

B．9 D．15

A D C

2.（2010年，2分）如图4，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是 A．7 B．8 C．9 D．10

B 图2 图4

课时23．矩形、菱形、正方形、梯形

【考点链接】

1. 特殊的平行四边形的之间的关系 2. 特殊的平行四边形的判别条件

要使 ABCD成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ； 要使 ABCD成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ； 要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ ； 要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ . 3. 特殊的平行四边形的性质

矩形 菱形 正方形 边 角 对角线 4. 梯形 ⑴ 梯形的面积公式是________________.

⑵ 等腰梯形的性质：边 __________________________________.

角 __________________________________. 对角线 __________________________________.

⑶ 等腰梯形的判别方法__________________________________. ⑷ 梯形的中位线长等于__________________________. 【河北三年中考试题】

1.（2009年，2分）如图1，在菱形ABCD中，AB = 5， ∠BCD = 120°，则对角线AC等于（ ）

A．20 C．10

B．15 D．5

C C A B 图10-1

A 图10-2

B

D

A

2.（2010年，3分）把三张大小相同的正方形卡片A， B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡 片覆盖的部分用阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影 部分的面积为S1；若按图10-2摆放时，阴影部分的面 积为S2，则S1 S2（填“＞”、“＜”或“=”）．

图1 C B 3.（2010年，12分）如图16，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，B90，AD = 6，BC = 8，AB33，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止． 设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．

（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值

范围）．

（2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．

（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，

请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由． ．．

A 第七章 圆

D E 课时24．圆 【考点链接】

B P

M 图16

Q C 一、圆的有关概念

1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .

2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又 是 对称图形， 是它的对称中心.

3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，

并且平分 .

4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它

们所对应的其余各组量都分别 .

5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 . 二、与圆有关的位置关系

1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：

①d r，②d r，③d r.

2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ .

对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为： ①d r，②d r，③d r.

3. 圆与圆的位置关系共有五种：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d R－r，②d R－r，③ R－r d R＋r，④d R＋r，⑤d R＋r.

4. 圆的切线 过切点的半径；经过 的一端，并且 这条 的直线是圆的切线. 5. 从圆外一点可以向圆引 条切线， 相等， 相等.

6. 三角形的三个顶点确定 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 心，是三角

形 的交点，它到 相等。 7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角

形的 ，它到 相等. 三、与圆有关的计算

1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n°的圆心角所对

的弧长为 ，弧长公式为 .

2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n°的圆心角所在的扇形面积为S=

R2 = = .

3. 圆柱的侧面积公式：S=2rl.（其中r为 的半径，l为 的高）。 4. 圆柱的全面积公式：S= + 。

5. 圆锥的侧面积公式：S=rl.（其中r为 的半径，l为 的长）。 6. 圆锥的全面积公式：S= + 。 【河北三年中考试题】

1.（2008年，2分）如图3，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB 的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ） O A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

B A 2.（2008年，3分）如图7，AB与⊙O相切于点B，

图3 C O AO的延长线交⊙O于点C，连结BC．若A36， 则C______．

A B 图7

P A O 3.（2009年，2分）如图2，四个边长为1的小正方形拼成一个大 正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上 的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．90°

4.（2009年，8分）图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD12sin∠DOE = ．

13C A E 心为O，直径AB于点E．已测得

D B （1）求半径OD；

（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，

则经过多长时间才能将水排干？

5.（2010年，2分）如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧 经过A，B，C三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）

A．点P B．点Q C．点R

D．点M

6.（2010年，3分）某盏路灯照射的空间可以看成如图9所示 的圆锥，它的高AO = 8米，母线AB与底面半径OB的夹角 为，tan4，则圆锥的底面积是 平方米（结果保留π）． 3A O

图10

B C P Q R M A 图3 7.（2009年，10分）如图13-1至图13-5，⊙O均作无滑动滚动，均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周

阅读理解：

O1 O ⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4长为c．

O2 B B 图9 O （1）如图13-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到

⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周． （2）如图13-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在

∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由 ⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋

n转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转周．

360实践应用：

（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c，则⊙O自

转 周；若AB = l，则⊙O自转 周．在 阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O 在点B处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O 在点B处自转 周． （2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=

O1 A O B O2 O3 A A

图13-1

O1 O2 B n° D

图13-2

C

1c．⊙O从 2C O4 ⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动

到⊙O4的位置，⊙O自转 周． 拓展联想：

（1）如图13-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D

△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．

（2）如图13-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于

图13-3

B O D A C 的位置出发，在AB相切于点D

图13-4

点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多 边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写 ．．出⊙O自转的周数．

8.（2010年，10分） 观察思考

某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以 左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且 PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH ⊥l于点H，并测得 OH =4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．

解决问题

（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；

l 点Q与点O间的最大距离是 分米；

点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米．

O D 滑道 滑块 图13-5 连杆 接点P在以OP为

图14-1

H Q

P O （2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位

置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？ 为什么？

（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l

的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大 的位置，此时，点P到l的距离是 分米；

②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形， 求这个扇形面积最大时圆心角的度数．

9.（2010年，8分）如图11-1，正方形ABCD是一个6 × 6网意图，其中每个小正方形的边长为1．位于AD中点处的光点程序移动．

（1）请在图11-1中画出光点P经过的路径； （2）求光点P经过的路径总长（结果保留π）．

P A 图14-2

l

H （Q） 格电子屏的示

P 输入点O P 绕点A顺时针旋转90° 图14-3 绕点B顺时针旋转90° P按图11-2的

D 绕点第八章 图形与变换 C顺时针旋转90° 绕点D顺时针旋转90° 课时25．视图与投影 【考点链接】 输出点 1. 从 观察物体时，看到的图叫做主视图 ；从 观 察物体时，看到的图叫做左视图 ；从 B C 图11-2

图11-1 观察物体时，看到的图叫做俯视图.

2. 主视图与俯视图的 一致；主视图与左视图的 一致；俯视图与左视图的 一致.

3. 叫盲区.

4. 投影可分为平行投影与中心投影.其中 所形成的投影叫平行投影； 所形成的投影叫中心投影.

5. 利用光线是否平行或是否交于一点来判断是 投影或 投影，以及光源的位置和物体阴影的位置. 【河北三年中考试题】

1.（2009年，2分）从棱长为2的正方体毛坯的一角， 挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图5所示 的零件，则这个零件的表面积是（ ）

A．20 C．24

B．22 D．26

图5

课时26．轴对称与中心对称

【考点链接】

1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ，那么这个图形就是 ，这

条直线就是它的 .

2. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形 ，那么这两个图形成 ，这条

直线就是 ，折叠后重合的对应点就是 。

3. 如果两个图形关于 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 . 4. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形

叫做 图形，这个点就是它的 ．

5. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个

点 ，这个点叫做 ．这两个图形中的对应点叫做关于中心的 ．

6. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所 ．关于中心

对称的两个图形是 图形.

7. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，即点P(x,y)关于原点的对称点P1为 . 【河北三年中考试题】

1.（2008年，10分）在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，

ABakm(a1)．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且

d1PBBA(km)（其中BPl于点P）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2PAPB(km)（其中点A与点A关于l对称，AB与l交于点P）．

A 观察计算

A B B A K P B l l （1）在方案一中，d1 P l km（用含a的式子表示）； C C P 图13-1

（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图13-3所示的辅助线，图13-2 图13-3 请你按小宇同学的思路计算，d2 km（用含a的式子表示）． 探索归纳

（1）①当a4时，比较大小：d1_______d2（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②当a6时，比较大小：d1_______d2（填“＞”、“＝”或“＜”）； （2）请你参考右边方框中的方法指导， 就a（当a1时）的所有取值情况进

方法指导 当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较： mn2(mn)(mn)，mn0， 行分析，要使铺设的管道长度较短， 应选择方案一还是方案二？

课时27．平移与旋转

【考点链接】

1. 一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称为______，它是由移动的 和

所决定．

2. 平移的特征是：经过平移后的图形与原图形的对应线段 ，对应 ，图形的 与

都没有发生变化，即平移前后的两个图形 ；且对应点所连的线段 ．

3. 图形旋转的定义：把一个图形 的图形变换，叫做旋转， 叫做旋转中心，

叫做旋转角．

4. 图形的旋转由 、 和 所决定．其中①旋转 在旋转过程中保持不

动．②旋转 分为 时针和 时针. ③旋转 一般小于360º.

5. 旋转的特征是：图形中每一点都绕着 旋转了 的角度，对应点到旋转中心的 相等，对

应 相等，对应 相等，图形的 都没有发生变化.也就是旋转前后的两个图形 . 【河北三年中考试题】 1．（2008年，2分）有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图5-2，图5-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）

第1次变换 众 城 成 图5-1

志 志 众 图5-2 成 城 众 城 志 成 成 志 图5-3 城 众 志 众

第2次变换 成 城 …

A．上 B．下 C．左 D．右 2．（2008年，10分）如图14-1，△ABC的边BC在直线l上，ACBC，且ACBC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EFFP．

（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与

AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

A （E）

E Q B

C （F） P 图14-1

l

B F

C P l

F P B C l

A E A 图14-2

Q 图14-3

3．（2010年，2分）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）

A．6 B．5 C．3 向右翻滚90° D．2 逆时针旋转90° 图6-1 图6-2