2020年天津市高考数学试卷【含详答】

2020年天津市高考数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1. 设全集𝑈={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合𝐴={−1,0，1，2}，𝐵={−3,0，2，

3}，则𝐴∩(∁𝑈𝐵)=( ) A. {−3,3} B. {0,2} C. {−1,1} D. {−3,−2,−1,1，3 } 2. 设𝑎∈𝑅，则“𝑎>1”是“𝑎2>𝑎”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数𝑦=𝑥2+1的图象大致为( )

4𝑥

A.

B.

C.

D.

4. 从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：𝑚𝑚)，将所得数据分为9组：

[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )

A. 10 B. 18 C. 20 D. 36

5. 若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )

A. 12𝜋 B. 24𝜋 C. 36𝜋 D. 144𝜋 6. 设𝑎=30.7，𝑏=(3)−0.8，𝑐=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )

1

A. 𝑎<𝑏<𝑐 B. 𝑏<𝑎<𝑐 C. 𝑏<𝑐<𝑎 D. 𝑐<𝑎<𝑏

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7. 设双曲线C的方程为

𝑥2𝑎2

−

𝑦2𝑏2

=1(𝑎>0,𝑏>0)，过抛物线𝑦2=4𝑥的焦点和点

(0,𝑏)的直线为𝑙.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )

A. 𝑥4−𝑦=1

4

22

B. 𝑥2−𝑦=1

4

𝜋

2

C. 𝑥4−𝑦2=1

2

D. 𝑥2−𝑦2=1

8. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝑥+3).给出下列结论：

①𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋； ②𝑓(2)是𝑓(𝑥)的最大值；

③把函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥的图象上的所有点向左平移3个单位长度，可得到函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象．

其中所有正确结论的序号是( )

𝜋

𝜋

A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③

𝑥3,𝑥≥0,

9. 已知函数𝑓(𝑥)={若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−|𝑘𝑥2−2𝑥|(𝑘∈𝑅)恰有4个零

−𝑥,𝑥<0.

点，则k的取值范围是( )

1

1

A. (−∞,−2)∪(2√2,+∞) C. (−∞,0)∪(0,2√2)

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i是虚数单位，复数2+𝑖=______．

8−𝑖

B. (−∞,−2)∪(0,2√2) D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)

11. 在(𝑥+𝑥2)5的展开式中，𝑥2的系数是______．

12. 已知直线𝑥−√3𝑦+8=0和圆𝑥2+𝑦2=𝑟2(𝑟>0)相交于A，B两点．若|𝐴𝐵|=

6，则r的值为______． 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为2和3.假定两球是否落入盒子互不影响，则

甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______．

14. 已知𝑎>0，𝑏>0，且𝑎𝑏=1，则2𝑎+2𝑏+𝑎+𝑏的最小值为______． 15. 如图，在四边形ABCD中，∠𝐵=60°，𝐴𝐵=3，

3

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷𝐴𝐵=−，则实数𝜆的𝐵𝐶=6，且⃗𝐴𝐷𝐵𝐶，⃗2

1

1

8

1

1

2

值为______，若M，N是线段BC上的动点，且

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． |𝑀𝑁

三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）

16. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，𝑐.已知𝑎=2√2，𝑏=5，𝑐=

√13．

(1)求角C的大小； (2)求sinA的值；

(3)求sin(2𝐴+4)的值．

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𝜋

17. 如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐶𝐶1⊥平面ABC，

𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，𝐶𝐶1=3，点D，E分别在棱𝐴𝐴1和棱𝐶𝐶1上，且𝐴𝐷=1，𝐶𝐸=2，M为棱𝐴1𝐵1的中点．

(Ⅰ)求证：𝐶1𝑀⊥𝐵1𝐷；

(Ⅱ)求二面角𝐵−𝐵1𝐸−𝐷的正弦值；

(Ⅲ)求直线AB与平面𝐷𝐵1𝐸所成角的正弦值．

18. 已知椭圆

𝑥2

+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的一个顶点为𝐴(0,−3)，右焦点为F，且|𝑂𝐴|=𝑎2

𝑦2

|𝑂𝐹|，其中O为原点．

(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)已知点C满足3⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐹，点B在椭圆上(𝐵异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．

19. 已知{𝑎𝑛}为等差数列，{𝑏𝑛}为等比数列，𝑎1=𝑏1=1，𝑎5=5(𝑎4−𝑎3)，𝑏5=

4(𝑏4−𝑏3).

(Ⅰ)求{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式；

2(Ⅱ)记{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，求证：𝑆𝑛𝑆𝑛+2<𝑆𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)；

,𝑛为奇数,

(Ⅲ)对任意的正整数n，设𝑐𝑛={𝑎𝑛−1求数列{𝑐𝑛}的前2n项和．

,𝑛为偶数．𝑏

𝑎𝑛𝑎𝑛+2

𝑛+1

(3𝑎𝑛−2)𝑏𝑛

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20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑘𝑙𝑛𝑥(𝑘∈𝑅)，𝑓′(𝑥)为𝑓(𝑥)的导函数．

(Ⅰ)当𝑘=6时，

(ⅰ)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程；

(ⅰ)求函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)+𝑥的单调区间和极值；

(Ⅱ)当𝑘≥−3时，求证：对任意的𝑥1，𝑥2∈[1,+∞)，且𝑥1>𝑥2，有

𝑓′(𝑥1)+𝑓′(𝑥2)

2

9

>

𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2

．

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2020年天津市高考数学试卷【详答】

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1. 设全集𝑈={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合𝐴={−1,0，1，2}，𝐵={−3,0，2，

3}，则𝐴∩(∁𝑈𝐵)=( ) A. {−3,3} B. {0,2} C. {−1,1} D. {−3,−2,−1,1，3 } 【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查列举法的定义，以及补集、并集的运算，属于基础题． 进行补集、交集的运算即可． 【解答】

解：全集𝑈={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合𝐴={−1,0，1，2}，𝐵={−3,0，2，3}， 则∁𝑈𝐵={−2,−1,1}， ∴𝐴∩(∁𝑈𝐵)={−1,1}， 故选：C．

2. 设𝑎∈𝑅，则“𝑎>1”是“𝑎2>𝑎”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

解得a的范围，即可判断出结论． 【解答】

解：由𝑎2>𝑎，解得𝑎<0或𝑎>1，

故𝑎>1”是“𝑎2>𝑎”的充分不必要条件， 故选：A．

3. 函数𝑦=𝑥2+1的图象大致为( )

4𝑥

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了函数图象的识别，属于基础题． 根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断． 【解答】

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解：函数𝑦=𝑓(𝑥)=𝑥2+1，则𝑓(−𝑥)=−𝑥2+1=−𝑓(𝑥)，

则函数𝑦=𝑓(𝑥)为奇函数，故排除C，D， 当𝑥>0是，𝑦=𝑓(𝑥)>0，故排除B， 故选：A．

4. 从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：𝑚𝑚)，将所得数据分为9组：

[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )

4𝑥4𝑥

A. 10 B. 18 C. 20 D. 36

【答案】B

【解析】解：直径径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5)×0.02=0.225， 则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为0.225×80=18个， 故选：B．

根据频率分布直方图求出径径落在区间[5.43,5.47)的频率，再乘以样本的个数即可． 本题考查了频率分布直方图，属于基础题．

5. 若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )

A. 12𝜋 B. 24𝜋 C. 36𝜋 D. 144𝜋 【答案】C

【解析】解：由题意，正方体的对角线就是球的直径， 所以2𝑅=√3×2√3=6，

所以𝑅=3，𝑆=4𝜋𝑅2=36𝜋． 故选：C．

正方体的对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．

本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．

6. 设𝑎=30.7，𝑏=(3)−0.8，𝑐=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )

1

A. 𝑎<𝑏<𝑐 B. 𝑏<𝑎<𝑐 C. 𝑏<𝑐<𝑎 D. 𝑐<𝑎<𝑏

【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题． 根据指数函数和对数函数的性质即可求出． 【解答】

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解：𝑎=30.7，𝑏=(3)−0.8=30.8， 则𝑏>𝑎>1，

log0.70.87. 设双曲线C的方程为

𝑥2𝑎2

1

−

𝑦2𝑏2

=1(𝑎>0,𝑏>0)，过抛物线𝑦2=4𝑥的焦点和点

(0,𝑏)的直线为𝑙.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )

A. 𝑥4−𝑦=1 4

22

B. 𝑥2−𝑦=1 4

2

C. 𝑥4−𝑦2=1

2

D. 𝑥2−𝑦2=1

【答案】D

【解析】解：抛物线𝑦2=4𝑥的焦点坐标为(1,0)， 则直线l的方程为𝑦=−𝑏(𝑥−1)， ∵双曲线C的方程为

−𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的渐近线方程为𝑦=± 𝑎𝑥， 𝑎2𝑥2

𝑦2

𝑏

∵𝐶的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直， ∴−=−𝑏，⋅(−𝑏)=−1，

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

∴𝑎=1，𝑏=1，

∴双曲线C的方程为𝑥2−𝑦2=1， 故选：D．

先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．

本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．

8. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝑥+3).给出下列结论：

①𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋； ②𝑓()是𝑓(𝑥)的最大值；

2

③把函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥的图象上的所有点向左平移3个单位长度，可得到函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象．

其中所有正确结论的序号是( )

𝜋

𝜋

𝜋

A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③

【答案】B

【解析】【分析】

本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．

由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③． 【解答】

解：因为𝑓(𝑥)=sin(𝑥+3)，

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𝜋

①由周期公式可得，𝑓(𝑥)的最小正周期𝑇=2𝜋，故①正确；、 ②𝑓()=sin(+)=sin

2

2

3

𝜋

𝜋

𝜋

5𝜋6

=，不是𝑓(𝑥)的最大值，故②错误； 2

𝜋

1

③根据函数图象的平移法则可得，函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥的图象上的所有点向左平移3个单位长度，可得到函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象，故③正确． 故选：B．

𝑥3,𝑥≥0,

9. 已知函数𝑓(𝑥)={若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−|𝑘𝑥2−2𝑥|(𝑘∈𝑅)恰有4个零

−𝑥,𝑥<0.

点，则k的取值范围是( )

1

1

A. (−∞,−2)∪(2√2,+∞) C. (−∞,0)∪(0,2√2)

B. (−∞,−2)∪(0,2√2) D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)

【答案】D

【解析】解：若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−|𝑘𝑥2−2𝑥|(𝑘∈𝑅)恰有4个零点， 则𝑓(𝑥)=|𝑘𝑥2−2𝑥|有四个根，

即𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=ℎ(𝑥)=|𝑘𝑥2−2𝑥|有四个交点， 当𝑘=0时，𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=|−2𝑥|=2|𝑥|图象如下：

两图象只有一个交点，不符合题意，

当𝑘<0时，𝑦=|𝑘𝑥2−2𝑥|与x轴交于两点𝑥1=0，𝑥2=𝑘(𝑥2<𝑥1) 图象如图所示，

2

两图象有4个交点，符合题意， 当𝑘>0时，

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𝑦=|𝑘𝑥2−2𝑥|与x轴交于两点𝑥1=0，𝑥2=𝑘(𝑥2>𝑥1) 在[0,𝑘)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点， 只需𝑦=𝑥3与𝑦=𝑘𝑥2−2𝑥在(𝑘,+∞)还有两个交点，即可， 即𝑥3=𝑘𝑥2−2𝑥在(𝑘,+∞)还有两个根， 即𝑘=𝑥+𝑥在(𝑘,+∞)还有两个根，

函数𝑦=𝑥+𝑥≥2√2，(当且仅当𝑥=√2时，取等号)， 所以0<𝑘<√2，且𝑘>2√2， 所以𝑘>2√2，

2

22

2

2

2

2

2

综上所述，k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)． 故选：D．

问题转化为𝑓(𝑥)=|𝑘𝑥2−2𝑥|有四个根，⇒𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=ℎ(𝑥)=|𝑘𝑥2−2𝑥|有四个交点，再分三种情况当𝑘=0时，当𝑘<0时，当𝑘>0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．

本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于中档题．

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i是虚数单位，复数2+𝑖=______． 【答案】3−2𝑖

【解析】解：i是虚数单位，复数2+𝑖=(2+𝑖)(2−𝑖)=故答案为：3−2𝑖

根据复数的运算法则即可求出．

本题考查了复数的运算，属于基础题．

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8−𝑖

(8−𝑖)(2−𝑖)

15−10𝑖5

8−𝑖

=3−2𝑖，

11. 在(𝑥+𝑥2)5的展开式中，𝑥2的系数是______． 【答案】10

𝑟5−𝑟𝑟−2𝑟𝑟5−3𝑟 𝑥 2 𝑥【解析】解：∵(𝑥+𝑥2)5的展开式的通项公式为𝑇𝑟+1=𝐶5=2𝑟 𝐶5𝑥，

2

2

令5−3𝑟=2，得𝑟=1，

1

∴𝑥2的系数是2×𝐶5=10， 故答案为10．

在 (𝑥+𝑥2)5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到展开式中𝑥2的系数．

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

12. 已知直线𝑥−√3𝑦+8=0和圆𝑥2+𝑦2=𝑟2(𝑟>0)相交于A，B两点．若|𝐴𝐵|=

6，则r的值为______． 【答案】5

【解析】解：根据题意，圆𝑥2+𝑦2=𝑟2的圆心为(0,0)，半径为r； 则圆心到直线𝑥−√3𝑦+8=0的距离𝑑=√1+3=4， 若|𝐴𝐵|=6，则有𝑟2=𝑑2+(故𝑟=5； 故答案为：5

根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线𝑥−√3𝑦+8=0的距离，结合直线与圆相交的性质可得𝑟2=𝑑2+(

|𝐴𝐵|2

)，计算可得答案． 2

|𝐴𝐵|2

)2

82

=16+9=25，

本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．

13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为2和3.假定两球是否落入盒子互不影响，则

甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______． 【答案】6 3 【解析】解：甲、乙两球落入盒子的概率分别为2和3，则2×3=6， 甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1−(1−2)(1−3)=1−3=3， 故答案为：6，3．

根据互斥事件的概率公式计算即可．

本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．

14. 已知𝑎>0，𝑏>0，且𝑎𝑏=1，则2𝑎+2𝑏+𝑎+𝑏的最小值为______． 【答案】4

1

1

8

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

12

1

1

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【解析】解：𝑎>0，𝑏>0，且𝑎𝑏=1，则2𝑎+2𝑏+𝑎+𝑏=2√

𝑎+𝑏2

118𝑎+𝑏2𝑎𝑏

+

8𝑎+𝑏

=

𝑎+𝑏2

+

8𝑎+𝑏

≥

⋅𝑎+𝑏=4，

𝑎+𝑏2

8

当且仅当

=𝑎+𝑏，即𝑎=2+√3，𝑏=2−√3或𝑎=2−√3，𝑏=2+√3 取等号，

8

故答案为：4 由2𝑎+2𝑏+𝑎+𝑏=

1

1

8

𝑎+𝑏2𝑎𝑏

+𝑎+𝑏=

8𝑎+𝑏2

+𝑎+𝑏，利用基本不等式即可求出．

8

本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．

15. 如图，在四边形ABCD中，∠𝐵=60°，𝐴𝐵=3，

3

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷𝐴𝐵=−，则实数𝜆的𝐵𝐶=6，且⃗𝐴𝐷𝐵𝐶，⃗2

值为______，若M，N是线段BC上的动点，且

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． |⃗𝑀𝑁𝐷𝑀𝐷𝑁【答案】6 2

【解析】解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系， ∵∠𝐵=60°，𝐴𝐵=3， ∴𝐴(2,

33√3

)， 2

113

∵𝐵𝐶=6，

∴𝐶(6,0)， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵𝐴𝐷∴𝐴𝐷//𝐵𝐶， 设𝐷(𝑥0,

3√3

)， 2

3

33√3⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑥0−,0)，⃗⃗⃗⃗⃗ ∴⃗𝐴𝐷𝐴𝐵=(−,−)， 2

2

2

3335

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ ∴⃗𝐴𝐷𝐴𝐵=−2(𝑥0−2)+0=−2，解得𝑥0=，

2

∴𝐷(,

53√3

)， 22

⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，⃗⃗⃗⃗⃗ ∴⃗𝐴𝐷𝐵𝐶=(6,0)， ⃗⃗⃗⃗⃗ =1⃗⃗⃗⃗⃗ ∴⃗𝐴𝐷𝐵𝐶，

6∴𝜆=6，

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， ∵|⃗𝑀𝑁

设𝑀(𝑥,0)，则𝑁(𝑥+1,0)，其中0≤𝑥≤5， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑥−,−∴⃗𝐷𝑀

2

5

3√3

⃗⃗⃗⃗⃗ )，⃗𝐷𝑁2

1

=(𝑥−2,−

3

3√3

)， 2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑥−5)(𝑥−3)+27=𝑥2−4𝑥+21=(𝑥−2)2+13，当𝑥=2时取得最小∴⃗𝐷𝑀𝐷𝑁

22422值，最小值为2，

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13

故答案为：6，2．

以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出𝜆的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．

本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．

三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）

16. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，𝑐.已知𝑎=2√2，𝑏=5，𝑐=

√13．

(1)求角C的大小； (2)求sinA的值；

(3)求sin(2𝐴+4)的值．

【答案】解：(1)由余弦定理以及𝑎=2√2，𝑏=5，𝑐=√13， 则𝑐𝑜𝑠𝐶=

𝑎2+𝑏2−𝑐2

2𝑎𝑏

𝜋

113

=2×28+25−13√=2×5√2

， 2

∵𝐶∈(0,𝜋)， ∴𝐶=；

4

(2)由正弦定理，以及𝐶=4，𝑎=2√2，𝑐=√13，可得𝑠𝑖𝑛𝐴= 𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶=2√2×2=2√13；

𝑐1313

√𝜋

√2

𝜋

(3)由𝑎<𝑐，及𝑠𝑖𝑛𝐴=

2√13

，可得𝑐𝑜𝑠𝐴13

2√1313

=√1−sin2𝐴==13，

12

3√13

， 13

则𝑠𝑖𝑛2𝐴=2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐴=2×

5

×

3√1313

∴𝑐𝑜𝑠2𝐴=2𝑐𝑜𝑠2𝐴−1=13， ∴sin(2𝐴+4)=

𝜋

√2

(𝑠𝑖𝑛2𝐴2

+𝑐𝑜𝑠2𝐴)=

5√212

(+)21313

=

17√226

．

【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正

弦公式，属于中档题．

(1)根据余弦定理即可求出C的大小； (2)根据正弦定理即可求出sinA的值；

(3)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．

17. 如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐶𝐶1⊥平面ABC，

𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，𝐶𝐶1=3，点D，E分别在棱𝐴𝐴1和棱𝐶𝐶1上，且𝐴𝐷=1，𝐶𝐸=2，M为棱𝐴1𝐵1的中点．

(Ⅰ)求证：𝐶1𝑀⊥𝐵1𝐷；

(Ⅱ)求二面角𝐵−𝐵1𝐸−𝐷的正弦值；

(Ⅲ)求直线AB与平面𝐷𝐵1𝐸所成角的正弦值．

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⃗⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】解：以C为原点，⃗𝐶𝐴𝐶𝐵𝐶𝐶1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间

直角坐标系，如图所示，

则𝐶(0,0，0)，𝐴(2,0，0)，𝐵(0,2，0)，𝐶1(0,0，3)，

𝐴1(2,0，3)，𝐵1(0,2，3)，𝐷(2,0，1)，𝐸(0,0，2)，𝑀(1,1，3)，

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (Ⅰ)证明：依题意，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶1𝑀=(1,1，0)，⃗𝐵1𝐷=(2,−2,−2)，

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶1𝑀⋅⃗𝐵1𝐷=2−2+0=0，∴𝐶1𝑀⊥𝐵1𝐷；

⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)是平面𝐵𝐵1𝐸的一个法向量， (Ⅱ)依题意，⃗𝐶𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐵1=(0,2，1)，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐷=(2,0，−1)， ⃗ =(𝑥,y，𝑧)为平面𝐷𝐵1𝐸的法向量， 设𝑛

2𝑦+𝑧=0⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝐸𝐵1=0

⃗ =(1,−1,2)， 则{，即{，不妨设𝑥=1，则𝑛

2𝑥−𝑧=0⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅𝐸𝐷=0𝑛

𝐶𝑁⋅𝑛⃗⃗ √6

⃗⃗⃗⃗ ，𝑛， ⃗ >=|𝐶𝑁=∴cos<⃗𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|𝑛⃗⃗ |61√30⃗⃗⃗⃗ ，𝑛， ⃗ >=√1−=∴sin<⃗𝐶𝐴66

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∴二面角𝐵−𝐵1𝐸−𝐷的正弦值√；

6

30

(Ⅲ)依题意，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=(−2,2，0)，

⃗ =(1,−1,2)为平面𝐷𝐵1𝐸的一个法向量， 由(Ⅱ)知，𝑛

⃗ >=⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−∴cos<⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵，𝑛|𝐴𝐵|⋅|𝑛⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑛𝐴𝐵⃗⃗

√3

， 3

3

∴直线AB与平面𝐷𝐵1𝐸所成角的正弦值为√．

3

【解析】(Ⅰ)建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明； (Ⅱ)先平面𝐷𝐵1𝐸的法向量𝑛⃗ ，再根据向量的夹角公式，求出二面角𝐵−𝐵1𝐸−𝐷的正弦值；

(Ⅱ)求出cos<⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ >值，即可求出直线AB与平面𝐷𝐵1𝐸所成角的正弦值． 𝐴𝐵，𝑛

本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．

18. 已知椭圆

𝑥2

+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的一个顶点为𝐴(0,−3)，右焦点为F，且|𝑂𝐴|=𝑎2𝑦2

|𝑂𝐹|，其中O为原点． (Ⅰ)求椭圆的方程；

⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B在椭圆上(𝐵异于椭圆的顶点)，直线AB与以(Ⅱ)已知点C满足3𝑂𝐶

C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．

【答案】解：(Ⅰ)由已知可得𝑏=3，记半焦距为c，由|𝑂𝐹|=|𝑂𝐴|可得𝑐=𝑏=3， 由𝑎2=𝑏2+𝑐2，可得𝑎2=18，

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∴椭圆的方程为

 𝑥218

+

𝑦29

=1，

(Ⅱ)：∵直线AB与C为圆心的圆相切于点P， ∴𝐴𝐵⊥𝐶𝑃，

根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为𝑦=𝑘𝑥−3， 𝑦=𝑘𝑥−3

由方程组{𝑥2𝑦2，消去y可得(2𝑘2+1)𝑥2−12𝑘𝑥=0，解得𝑥=0，或𝑥=

+=1

18

9

12𝑘

2𝑘2+1

，

,)， 2𝑘2+12𝑘2+1

12𝑘

6𝑘2−3

依题意可得点B的坐标为(

∵𝑃为线段AB的中点，点A的坐标为(0,−3)， ∴点P的坐标为(2𝑘2+1,2𝑘2+1)，

由3⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐹，可得点C的坐标为(1,0)， 故直线CP的斜率为∵𝐴𝐵⊥𝐶𝑃， ∴𝑘⋅

32𝑘2−6𝑘+1

−3

2𝑘2+16𝑘−12𝑘2+16 𝑘−3

=

3

2𝑘2−6𝑘+1

，

=−1，

整理可得2𝑘2−3𝑘+1=0， 解得𝑘=2或𝑘=1，

∴直线AB的方程为𝑦=2𝑥−3或𝑦=𝑥−3．

【解析】(Ⅰ)根据可得𝑐=𝑏=3，由𝑎2=𝑏2+𝑐2，可得𝑎2=18，即可求出椭圆方程；

(Ⅱ)根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为𝑦=𝑘𝑥−3，联立方程组，求出点B的坐标，再根据中点坐标公式可得点P的坐标，根据向量的知识求出点C的坐标，即可求出CP的斜率，根据直线垂直即可求出k的值，可得直线AB的方程．

本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

19. 已知{𝑎𝑛}为等差数列，{𝑏𝑛}为等比数列，𝑎1=𝑏1=1，𝑎5=5(𝑎4−𝑎3)，𝑏5=

4(𝑏4−𝑏3).

(Ⅰ)求{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式；

2(Ⅱ)记{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，求证：𝑆𝑛𝑆𝑛+2<𝑆𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)；

,𝑛为奇数,

(Ⅲ)对任意的正整数n，设𝑐𝑛={𝑎𝑛−1求数列{𝑐𝑛}的前2n项和．

,𝑛为偶数．𝑏

𝑎𝑛𝑎𝑛+2

𝑛+1

1

1

(3𝑎𝑛−2)𝑏𝑛

【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，等比数列{𝑏𝑛}的公比为q，

由𝑎1=1，𝑎5=5(𝑎4−𝑎3)，则1+4𝑑=5，可得𝑑=1， ∴𝑎𝑛=1+𝑛−1=𝑛，

∵𝑏1=1，𝑏5=4(𝑏4−𝑏3)， ∴𝑞4=4(𝑞3−𝑞2)， 解得𝑞=2，

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∴𝑏𝑛=2𝑛−1； 证明(Ⅱ)由(Ⅰ)可得𝑆𝑛=

1

𝑛(𝑛+1)2

，

1

∴𝑆𝑛𝑆𝑛+2=4𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)(𝑛+3)，(𝑆𝑛+1)2=4(𝑛+1)2(𝑛+2)2，

2

∴𝑆𝑛𝑆𝑛+2−𝑆𝑛+1=−(𝑛+1)(𝑛+2)<0，

2

2∴𝑆𝑛𝑆𝑛+2<𝑆𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)；

1

解：(Ⅲ)，当n为奇数时，𝑐𝑛=当n为偶数时，𝑐𝑛=

 𝑎𝑛−1𝑏𝑛+1

(3𝑎𝑛−2)𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛+2

=

(3𝑛−2)2𝑛−1𝑛(𝑛+2)

=

2𝑛+1𝑛+2

−

2𝑛−1𝑛

，

=

𝑛−12𝑛

，

22𝑘

22𝑘−2

22𝑛

𝑛对任意的正整数n，有∑𝑛𝑘=1𝑐2𝑘−1=∑𝑘=1(2𝑘+1−2𝑘−1)=2𝑛+1−1， 𝑛和∑𝑛𝑘=1𝑐2𝑘=∑𝑘=1

1

1

2𝑘−14𝑘=+

41

134

2+

54

3+⋯+

2𝑛−14𝑛，①， ，②，

由①×4可得4∑𝑛𝑘=1𝑐2𝑘=42+43+⋯+

3

1

2

2

32𝑛−34 𝑛2

+

2𝑛−14𝑛+1①−②得4∑𝑛𝑘=1𝑐2𝑘=4+42+43+⋯+4 𝑛−4--4𝑛+1， ∴∑𝑛𝑘=1𝑐2𝑘=9−9×4𝑛，

𝑛𝑛因此∑2𝑛𝑘=1𝑐2𝑘=∑𝑘=1𝑐2𝑘−1+∑𝑘=1𝑐2𝑘=2𝑛+1−9×4𝑛−9．

4𝑛

6𝑛+5

4

5

6𝑛+5

12𝑛−1

数列{𝑐𝑛}的前2n项和

−9×4𝑛−9． 2𝑛+1

4𝑛

6𝑛+54

【解析】(Ⅰ)分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； (Ⅱ)根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则课证明； (Ⅲ)分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n项和．

本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．

20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑘𝑙𝑛𝑥(𝑘∈𝑅)，𝑓′(𝑥)为𝑓(𝑥)的导函数．

(Ⅰ)当𝑘=6时，

(ⅰ)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程；

(ⅰ)求函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)+𝑥的单调区间和极值；

(Ⅱ)当𝑘≥−3时，求证：对任意的𝑥1，𝑥2∈[1,+∞)，且𝑥1>𝑥2，有

𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2

𝑓′(𝑥1)+𝑓′(𝑥2)

2

9

>

．

【答案】解：(𝐼)(𝑖)当𝑘=6时，𝑓(𝑥)=𝑥3+6𝑙𝑛𝑥， 故𝑓′(𝑥)=3𝑥2+𝑥，

∴𝑓′(1)=9， ∵𝑓(1)=1，

∴曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程为𝑦−1=9(𝑥−1)，即9𝑥−𝑦−8=0．

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6

(𝑖𝑖)𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)+𝑥=𝑥3+6𝑙𝑛𝑥−3𝑥2+𝑥，𝑥>0， ∴𝑔′(𝑥)=3𝑥−6𝑥+−

𝑥

2

6

3𝑥2

93

=

3(𝑥−1)3(𝑥+1)

𝑥2

，

令𝑔′(𝑥)=0，解得𝑥=1， 当0<𝑥<1，𝑔′(𝑥)<0， 当𝑥>1，𝑔′(𝑥)>0，

∴函数𝑔(𝑥)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 𝑥=1是极小值点，极小值为𝑔(1)=1，无极大值 证明：(Ⅱ)由𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑘𝑙𝑛𝑥，则𝑓′(𝑥)=3𝑥2+𝑥， 对任意的𝑥1，𝑥2∈[1,+∞)，且𝑥1>𝑥2，令𝑥2=𝑡，𝑡>1，

22++3𝑥2+)−则(𝑥1−𝑥2)[𝑓′(𝑥1)+𝑓′(𝑥2)]−2[𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)]=(𝑥1−𝑥2)(3𝑥1

𝑥𝑥

1

2

𝑘

𝑥1

𝑘𝑘

33

2(𝑥1−𝑥2+𝑘𝑙𝑛𝑥1)，

2

𝑥

3322=𝑥1−𝑥2−3𝑥1𝑥2+3𝑥1𝑥2+𝑘(

𝑥1𝑥21𝑡

−

𝑥2𝑥1

)−2𝑘𝑙𝑛1，

𝑥

2

𝑥

33=𝑥2(𝑡−3𝑡2+3𝑡−1)+𝑘(𝑡−−2𝑙𝑛𝑡)，①

令ℎ(𝑥)=𝑥−𝑥−2𝑙𝑛𝑥，𝑥>1，

当𝑥>1时，ℎ′(𝑥)=1+𝑥2−𝑥=(1−𝑥)2>0， ∴ℎ(𝑥)在(1,+∞)单调递增，

∴当𝑡>1，ℎ(𝑡)>ℎ(1)=0，即𝑡−𝑡−2𝑙𝑛𝑡>0， ∵𝑥2≥1，𝑡3−3𝑡2+3𝑡−1=(𝑡−1)3>0，𝑘≥−3，

33∴𝑥2(𝑡−3𝑡2+3𝑡−1)+𝑘(𝑡−−2𝑙𝑛𝑡)>𝑡3−3𝑡2+3𝑡−1−3(𝑡−−2𝑙𝑛𝑡)=𝑡3−

𝑡

𝑡

1

1

1

1

2

1

1

3𝑡2+6𝑙𝑛𝑡+𝑡−1，②，

由(Ⅰ)(𝑖𝑖)可知当𝑡≥1时，𝑔(𝑡)>𝑔(1) 即𝑡3−3𝑡2+6𝑙𝑛𝑡+𝑡>1，③，

由①②③可得(𝑥1−𝑥2)[𝑓′(𝑥1)+𝑓′(𝑥2)]−2[𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)]>0， ∴当𝑘≥−3时，对任意的𝑥1，𝑥2∈[1,+∞)，且𝑥1>𝑥2，有

𝑓′(𝑥1)+𝑓′(𝑥2)

2

𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2

3

3

>

．

【解析】(Ⅰ)(𝑖)根据导数的几何意义即可求出切线方程； (𝑖𝑖)根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；

(Ⅱ)要证不等式成立，只要证明(𝑥1−𝑥2)[𝑓′(𝑥1)+𝑓′(𝑥2)]−2[𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)]>0，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．

本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．

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